滤波器耦合矩阵理论的诞生

上世纪70年代，通信卫星技术得到了飞速发展。通信卫星是一种无线信号的中继站，它接受地面基站A的信号，将信号载波频率转化到发射频率，将信号功率放大再传输给另一个地方的地面基站B。

卫星高高“悬挂“于地球上方，它能够看到大约1/3的地球表面，因此它能够避开山川盆地的阻隔，连接远在大洋彼岸的通信基站，它还能非常便捷地提供一对多的卫星电视服务。

图1. 通信卫星的无线模块结构[1]

图1所示的是通信卫星的射频系统结构，接收端天线Rx的信号首先通过一个宽带滤波器IFA（input filter assembly），将卫星通信频带之外的干扰信号加以抑制然后接收信号经过低噪声接收机RCVR，RCVR模块包括低噪放LNA（low noise amplifier），本振（local oscillator）和混频器（mixer）用于将接收频率向下转换到发射频率，以及驱动放大器（driver amplifier）。

图1中有一个备用的RCVR，主要目的是保证接收机工作的可靠性。

宽带信号经过低噪接收机之后便进入输入多工器IMUX（input multiplexer）。多工器的作用是将整个通信卫星的频谱分割成一个个非常窄的频带，每一路窄带信号由一个高功率放大器HPA（high-power amplifier）独立放大。

信号被放大之后再由输出多工器OMUX（output multiplexer）将其合并，由发射天线TX将信号送出。为了获得足够的输出功率，HPA工作在接近饱和区的状态，此时功率放大器无法在较宽的频带内保持良好的线性度，因此必须先将整个无线信号分成多路窄带信号，分别放大再合并。

输入输出多工器是由许多窄带滤波器以某种方式连接到一个公共端构成的。通信卫星使用的C和Ka波段的频率，这些波段被进一步划分为带宽24MHz~72MHz的多个窄带信道，这使得每一个信道滤波器的相对带宽（带宽和中心频率之比）通常在0.3%~2%之间。相较于宽带滤波器而言，窄带滤波器会使通带信号产生更大的群时延，同时相位线性度也会更差，因此通常需要设计平衡器（equalizer）以改善相位线性度。

滤波器设计的另一个关键问题是，多工器相邻信道频率非常接近，这对滤波器的带外抑制产生了很高的要求。此外，还要求滤波器功率容量大，体积和重量尽量小等等。

图2. 通信卫星上的圆波导双模滤波器

图2所示的圆波导双模滤波器的设计很好地应对了这一挑战。它采用空气填充的圆波导腔体，内部表面镀银之后，谐振器的Q值可以达到10000。由于每一个金属腔支持两个正交极化的TE11谐振模式，相较于单模滤波器，这个滤波器的空间利用率更高。

它有四个圆柱形谐振腔，在滤波器通带内一共有八个谐振模式，这八个谐振模式的耦合结构如图3所示，可以看到其中除了按照谐振模式顺序耦合之外，这个耦合结构还有两个交叉耦合，分别在谐振模式1和4之间以及在谐振模式5和8之间。

其中一个交叉耦合产生带外的传输零点，可以增强滤波器的频率选择性；另一个交叉耦合产生一对共轭传输零点，这对传输零点不能在幅度响应上直接被观察到，但是通过合理安排它们在复平面上的位置，可以起到改进相位线性度的作用。

图3. 圆波导双模滤波器的耦合拓扑结构

图3中所示中间有数字的圆表示一个TE11谐振模式，圆圈之间的连线表示谐振模式之间的耦合。

与经典的Butterworth和Chebyshev滤波器不同，图2所示的滤波器带有交叉耦合，它的设计需要一种新的理论工具，耦合矩阵就是在这样的背景下由A. E. Atia和A. E. Williams提出的[2]-[6]。

图4. 参考文献[4]中给出的耦合谐振网络电路模型

图4所示的是早期的耦合谐振网络电路模型。在这个电路模型中，每个谐振器是由电感电容串联谐振器来表示的，所有的电容均为1F，每一个谐振回路的总电感为1H，所以每一个谐振器的谐振频率均为1 rad/s。在最一般的情况下，任意两个谐振器之间都可以存在耦合，耦合是通过线圈的互感来表示的。假设输入端和输出端的参考阻抗分别为R1和Rn，这个电路的回路方程可以写为：

方程（1）

其中i1-in是n个谐振回路的电流，e1是在端口1外加的激励电压。通过求解方程（1）可以求得各个回路的电流，从而进一步求解整个网络的S参数。

方程（1）可以被归纳为如下形式：  

方程（2）

上式为耦合矩阵的电路方程，其中[R]是一个稀疏矩阵，其中除了左上角的元素为R1，右下角的元素为Rn之外，其余元素均为0。[M]是耦合矩阵，其中每一个非对角线元素Mij表示第i个和第j个谐振器之间的耦合系数。（2）式左边第三个矩阵[I]是单位矩阵，而单位矩阵之前的变量p是一个和频率相关的变量：

方程（3）

注意到当时的耦合矩阵和目前广泛使用的耦合矩阵还是有较大的不同，主要表现在：

当时的耦合矩阵的对角线元素均为0，此时所有谐振器谐振频率一致，谐振频率等于网络的中心频率，这种情况也被称为同步调谐（synchronously tuned）。而现在耦合矩阵的对角线元素允许有非零元素，对角线元素的值和该谐振器的谐振频率有关，这种网络被称为异步调谐（asynchronously tuned）网络。

当时的耦合矩阵中仅包含了谐振器之间的耦合，一个由N个谐振器构成的网络的耦合矩阵是一个大小为N乘以N的矩阵，因此这种耦合矩阵也被称为N◊N矩阵。而现在流行的是N+2耦合矩阵，其中除了N个谐振器之外还包括了两个端口结点，同时也包含了输入和输出端与谐振器之间的耦合系数，这些耦合系数被称为输入输出耦合。

图5. N×N耦合矩阵形式

图5所示内容为与图3所示拓扑结构对应的N◊N耦合矩阵形式，其中X标记了非零元素。耦合矩阵的解读类似于图论中的邻接矩阵，矩阵的每一个对角线元素对应着耦合拓扑结构图中的一个顶点，即一个谐振模式。每一个非对角线元素对应于两个顶点之间的一条连线，如果一个非对角线元素为0，则表示对应的两个顶点之间没有连线，即这两个谐振模式之间没有耦合；如果一个非对角线元素非零，它的大小则是这两个谐振模式之间耦合的大小。

例如，对应于图3所示拓扑结构的耦合矩阵，应当具有图5所示的形式，其中X表示非零元素，空白部分的元素均为0。图5中的耦合矩阵是一个同步调谐滤波器的矩阵，因此它的对角线元素均为0。

耦合矩阵的优势是它的元素和实际滤波器的单元有一一对应关系，如果我们可以综合出理想状态下该滤波器的耦合矩阵，我们就得到了每一对谐振模式之间的耦合系数大小，从而进行滤波器物理结构的设计，这是耦合矩阵理论逐渐成为滤波器的主流设计方法的原因。