带你重新认识了一下真正的PID

描述

网上关于PID算法的文章很多,但是感觉有必要自己再进行一次总结,抽丝剥茧地重新认识了一下PID;

1 前言

2 开环控制

3 闭环控制

4 PID

4.1 系统架构

4.2 理论基础

4.3 离散化

4.4 伪算法

5 C++实现

6 总结

1 前言

控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统,在闭环系统的控制中,PID算法非常强大,其三个部分分别为;

P:比例环节;

I:积分环节;

D:微分环节;

PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正,因此被广泛地应用于工业控制系统。

2 开环控制

首先来看开环控制系统,如下图所示,隆哥蒙着眼,需要走到虚线旗帜所表示的目标位置,由于缺少反馈(眼睛可以感知当前距离和位置,由于眼睛被蒙上没有反馈,所以这也是一个开环系统),最终隆哥会较大概率偏离预期的目标,可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。

PID算法

开环系统的整体结构如下所示;

PID算法

这里做一个不是很恰当的比喻;

Input:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);

Controller:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步;

Process:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;

看来没有反馈的存在,很难准确到达目标位置。

3 闭环控制

所以为了准确到达目标位置,这里就需要引入反馈,具体如下图所示;

PID算法

在这里继续举个不怎么恰当的比喻;隆哥重获光明之后,基本可以看到目标位置了;

第一步Input:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);

第二步Controller:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步;

第三步Process:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;

第四步Feedback:通过视觉获取到目前已经前进的距离,(比如前进了2米,那么还有8米的偏差);

第五步err:根据偏差重新计算所需要的步数,然后重复上述四个步骤,最终隆哥达到最终的目标位置。  

4 PID

4.1 系统架构

虽然在反馈系统下,隆哥最终到达目标位置,但是现在又来了新的任务,就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller,只要适当调整P,I和D的参数,就可以到达目标位置,具体如下图所示;

PID算法

隆哥为了最短时间内到达目标位置,进行了不断的尝试,分别出现了以下几种情况;

跑得太快,最终导致冲过了目标位置还得往回跑;

跑得太慢,最终导致到达目标位置所用时间太长;

经过不断的尝试,终于找到了最佳的方式,其过程大概如下图所示;

PID算法

这里依然举一个不是很恰当的比喻;

第一步:得到与目标位置的距离偏差(比如最开始是10米,后面会逐渐变小);

第二步:根据误差,预估需要多少速度,如何估算呢,看下面几步;

P比例则是给定一个速度的大致范围,满足下面这个公式;

因此比例作用相当于某一时刻的偏差(err)与比例系数的乘积,具体如下所示;

PID算法

比例作用

绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化;红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化,两者为互补的关系;

I积分则是误差在一定时间内的和,满足以下公式;

如下图所示;

PID算法

红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果,其不断累积的误差,最终乘以积分系数就得到了积分部分的输出;

D微分则是误差变化曲线某处的导数,或者说是某一点的斜率,因此这里需要引入微分;

PID算法

从图中可知,当偏差变化过快,微分环节会输出较大的负数,作为抑制输出继续上升,从而抑制过冲。

综上,,分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示;

参数 上升时间 超调量 响应时间 稳态误差 稳定性
Kp 减少 增加 小变化 减少 降级
Ki 减少 增加 增加 消除 降级
Kd 微小的变化 减少 减少 理论上没有影响 小,稳定性会提升

4.2 理论基础

上面扯了这么多,无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用,下面开始推导一下算法实现的具体过程;PID控制器的系统框图如下所示;

PID算法

图片来自Wiki

因此不难得出输入和输出的关系;

是比例增益;是积分增益;是微分增益;

4.3 离散化

在数字系统中进行PID算法控制,需要对上述算法进行离散化;假设系统采样时间为则将输入序列化得到;

将输出序列化得到;

比例项:离散化

积分项:

微分项:

所以最终可以得到式①,也就是网上所说的位置式PID:

将式①再做一下简化;

最终得到增量式PID的离散公式如下:

4.4 伪算法

这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法;

previous_error := 0  //上一次偏差 integral := 0   //积分和 //循环  //采样周期为dt loop:  //setpoint 设定值  //measured_value 反馈值     error := setpoint − measured_value //计算得到偏差     integral := integral + error × dt //计算得到积分累加和     derivative := (error − previous_error) / dt //计算得到微分     output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative //计算得到PID输出     previous_error := error //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差     wait(dt) //等待下一次采用     goto loop

5 C++实现

这里是增量式PID算法的C语言实现;

pid.cpp

#ifndef _PID_SOURCE_ #define _PID_SOURCE_ #include  #include  #include "pid.h" using namespace std; class PIDImpl {     public:         PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );         ~PIDImpl();         double calculate( double setpoint, double pv );     private:         double _dt;         double _max;         double _min;         double _Kp;         double _Kd;         double _Ki;         double _pre_error;         double _integral; }; PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) {     pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki); } double PID::calculate( double setpoint, double pv ) {     return pimpl->calculate(setpoint,pv); } PID::~PID()  {     delete pimpl; } /**  * Implementation  */ PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) :     _dt(dt),     _max(max),     _min(min),     _Kp(Kp),     _Kd(Kd),     _Ki(Ki),     _pre_error(0),     _integral(0) { } double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv ) {          // Calculate error     double error = setpoint - pv;     // Proportional term     double Pout = _Kp * error;     // Integral term     _integral += error * _dt;     double Iout = _Ki * _integral;     // Derivative term     double derivative = (error - _pre_error) / _dt;     double Dout = _Kd * derivative;     // Calculate total output     double output = Pout + Iout + Dout;     // Restrict to max/min     if( output > _max )         output = _max;     else if( output < _min )         output = _min;     // Save error to previous error     _pre_error = error;     return output; } PIDImpl::~PIDImpl() { } #endif

pid.h

#ifndef _PID_H_ #define _PID_H_ class PIDImpl; class PID {     public:         // Kp -  proportional gain         // Ki -  Integral gain         // Kd -  derivative gain         // dt -  loop interval time         // max - maximum value of manipulated variable         // min - minimum value of manipulated variable         PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );         // Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value         double calculate( double setpoint, double pv );         ~PID();     private:         PIDImpl *pimpl; }; #endif

pid_example.cpp

#include "pid.h" #include  int main() {     PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5);     double val = 20;     for (int i = 0; i < 100; i++) {         double inc = pid.calculate(0, val);         printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f ", val, inc);         val += inc;     }     return 0; }

编译并测试;

g++ -c pid.cpp -o pid.o # To compile example code: g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example

6 总结

本文总结了PID控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用,每个环节可能对系统输出造成什么样的变化,给出了位置式和增量式离散PID算法的推导过程,并给出了位置式算法的C++程序实现。

由于作者能力和水平有限,文中难免存在错误和纰漏,请不吝赐教。

责任编辑:YYX

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