逻辑函数的表示方法与基本公式

一、逻辑函数及其表示方法

1.1真值表

表示逻辑函数的方法有真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。

真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。每个输入变量有0和1共2种取值，N个输入变量就有2N个不同的取值组合。将输入变量全部取值组合以及相应的输出函数全部列出来，就可以得到逻辑函数的真值表。

如表1.1，函数Y=AB+BC+AC，列出此函数的真值表

表1.1 Y=AB+BC+AC的真值表

如图1.1所示为一个控制楼梯照明灯的电路。两个单刀双掷开关A和B分别装在楼上和楼下，无论在楼下还是在楼上都能单独控制开灯和关灯。

该控制楼梯照明灯电路的逻辑函数的真值表如表1.2所示。

图1.1 控制楼梯照明灯的电路

表1.2 控制楼梯照明灯的电路真值表

1.2逻辑函数表达式

按照对应的逻辑关系，把输出量表示为输入量的与、或、非3种运算的组合，称为逻辑函数表达式(简称逻辑表达式)。

根据表1.2可以写出图1.1所示电路表示灯亮的逻辑函数表达式。

1.3逻辑图

用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。根据图1.1所示电路表示灯亮的逻辑表达式，可以画出如图1.2所示的逻辑图。

图1.2 逻辑图

二、逻辑函数的基本公式

2.1逻辑代数中的变量和常量

逻辑代数是按一定的逻辑进行运算的代数，虽然它和普通代数一样也是用字母表示变量，但两种代数中变量的含义是完全不同的，它们之间有着本质的区别。

(1) 逻辑变量是二元常量，只有2个值，即0(逻辑零)和1(逻辑壹)，而没有中间值。

(2) 逻辑变量的二值0和1不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

2.2逻辑代数中的基本公式

(1)变量和常量的逻辑加。其表达式为

A+0=A A+1=1

(2) 变量和常量的逻辑乘。其表达式为

A*0=0 A*1=A

(3) 变量和反变量的逻辑加和逻辑乘。其表达式为

1.3逻辑代数基本定律

(1)交换律

交换律

(2)结合律

结合律

(3)重叠律

重叠律

(4)分配律

分配律

(5)吸收律

吸收律

(6)还原律

(7)反演律(摩根定律)

摩根定律

三、逻辑函数的化简

3.1最简式

用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降低成本，提高工作可靠性。因此，化简时必须使逻辑表达式为最简式。

所谓最简式，首先必须满足乘积项最少，其次在满足乘积项最少的条件下，每个乘积项中的变量个数最少。

3.2化简的方法

(1)并项法

利用A+A=1;AB+AB=A这2个等式，将2项合并为一项，并消去一个变量。如：

(2)吸收法

利用公式A+AB=A吸收多余项。如：

(3)消除法

利用公式A+AB=A+B消去多余的因子。如：

(4)配项法

一般在适当项中，配上A+A=1的关系式，再同其他项的因子进行化简。如：

3.3化简举例