品质因数Q0和带宽BW的联系

关于Q0和3dB带宽的关系，有同学留言求证，今天我们唠叨唠叨这个。

单纯看符号的字面意思，我们很难将品质因数Q0和带宽BW联系起来，尤其是还有中心频率F0. 今天我们一起来解一下这个问题。Q0到底是怎么和频率/带宽扯上关系的呢？

这个还要从Q0的最初定义来解答。

Q0是描述一个谐振回路品质好坏的一个参量，其定义为一个周期内储能和平均耗能的比值。这个谐振回路既可以是RLC串联谐振回路，也可以是RLC并联谐振回路。



我们以一个RLC串联谐振回路为例。



这个电路在电阻R上的传输函数H(w)的幅度值如下：



在谐振频率点w0处，传输函数H(w)的幅度最大等于1，



H(ω)的幅度值随着电阻R的不同，响应曲线如下图所示：

上图那个幅度值最大的点对应的频率就是RLC串联谐振电路的谐振频率。观察上图，确实发现3dB带宽和R有某种特殊的关系，R越大，3dB带宽越大。





在RLC串联谐振回路中，单位周期内消耗的功率就是电阻R消耗的功率P(w)。




P(w)是一个关于频率的函数，当在谐振点处，电阻消耗的功率P（w）最大：



我们做出传输函数H(w)的功率传输曲线，如下图。看看3dB带宽是怎么来的？



3dB带宽，也就是当功率下降一半的时候的带宽。这个3dB来自于10log(1/2)。当功率下降一半，也就是电压下降1/根号（2）时。这时候有：

求解上式就可以得到w的两个根，分别是w1和w2
 

这时候，3dB带宽就可以得到了：

BW 3dB=w2-w1=R/L

记住了，3dB带宽就和电阻R和电感L联系起来了。这个就为品质因数Q0和带宽的关系埋下了伏笔。

我们接着看RLC串联谐振回路的Q0的计算。在RLC谐振回路的总储能等于电感和电容储能的和：
 

在给定电流和电压情况下，总储能Es可以表示为：
 

在谐振点w0处，
 

而单位周期内的平均耗能Ed就可以表示为：
 

那这个品质因数Q0的公式就可以表示为：
 

我们只取前面Q0和电感的关系：
 

把3dB带宽的公式带入就可以得到：

当然角频率w和频率f的关系带入就得到了这个关系，这个Q值和频率的关系，对于实际电路的测试有很大的用处，大大简化了Q0的测试。

到这里，大家是不是就清楚了。

同理用RLC并联谐振回路也能得到同样的结果。

表格给出了LC谐振回路最基本的特性公式。不用记住，有个印象就行。

审核编辑：刘清