切比雪夫滤波器的综合设计

本节将详细讲解切比雪夫滤波器(ChebyshevI和ChebyshevII)的综合设计，结合之前电路仿真的工作，现将Chebyshev型滤波器集成到了滤波器设计App中，提供一个试用版本，并提供GitHub开源链接。

切比雪夫滤波器特点和用途

Chebyshev(切比雪夫)滤波器是Cauer于1930-1931年首先使用切比雪夫多项式(Chebyshev polynomials)逼近来进行设计的滤波器，其特点是通带内具有等纹波特性，对比Butterworth滤波器其更具陡峭的截止特性，被广泛用于实际工程应用之中。

另外，实际上Butterworth滤波器是Chebyshev滤波器在纹波为0的一个特殊情况  (文中有解释)。

关于Chebyshev(Pafnuty Lvovich Chebyshev ,俄语原名: Пафну́тий Льво́вич Чебышёв, IPA: [pɐfˈnutʲɪj ˈlʲvovʲɪtɕ tɕɪbɨˈʂof], 英语曾用名: Tchebycheff, 法语：Tchebyshev，德语：Tschebyschow，中文名：切比雪夫，车比雪夫)本人的相关信息可以参考陈关荣｜切比雪夫，他带起了俄罗斯现代数学的发展  。

切比雪夫多项式(Chebyshev polynomials)

首先我们要清楚Cauer当年怎么想到使用切比雪夫多项式来进行滤波器设计的，这里我们要明白一个概念--滤波器逼近(Filter Approximation)。通过电路分析章节可知，我们可以通过电路实现一个多项式，那么反过来，我们可以由一个多项式实现一个电路，为了实现一个特定频率响应的滤波器，问题转换为找到一个合适的多项式来对滤波器进行逼近。

以频率响应曲线为目标的滤波器设计最关键的是对0附近进行拟合，是不是有点懵，对吧，0有什么好拟合的，  不就好了嘛，对于滤波器而言，我们希望在无穷频率远处衰减为无穷(也可以从能量角度来理解，频率无限远处能量必须为0)，要求当  的时候  ，所以  必须是一个以x为自变量的多项式。

最简单的我们可以用: 来拟合，让我们看看效果：

相信大家也看到了，这种拟合是不是随着n的增大，函数值在[-1,1]范围内越接近于0。

我们还有更好的多项式(或函数)来逼近0吗？

有！那就是切比雪夫多项式  (字母T就是切比雪夫音译的首字母)： 大家看到没有，函数值被限制在cos函数的正负1以内，这也是等纹波的底层原因。

做亿点点变形，看看切比雪夫多项式原本的模样：

当  时： 

当  时： 

当  时，使用三角函数的倍角公式得到： 令  即可得到切比雪夫多项式的递推公式(可用归纳法证明): 由递推公式可以得到不同  值下的切比雪夫多项式，来看看实际的函数值和0值得逼近效果：

这等纹波的逼近效果是不是非常棒呢，在[-1,1]区间内，误差绝对不会超过+/-1。

这里的简单多项式  和切比雪夫多项式实际上就是滤波器的特征多项式  (另，特征函数的严格定义  是  )。当  时，就是Butterworth滤波器的特征多项式，当  时，就是切比雪夫滤波器的特征多项式。

写到这里实际上本合集最初的目标基本要实现了--综合得到直线衰减特性的滤波器。我们只需要综合出逼近  的特征多项式就可以完成滤波器的综合，这里暂时不展开，先挖个坑，后面续继续聊。

匹配型切比雪夫低通滤波器的综合

匹配型滤波器表示输入输出阻抗不为0且相等，这时滤波器两端都与终端阻抗相互匹配，滤波器负载电阻  可以获得信号源最大功率。

匹配型奇数阶切比雪夫低通滤波器的频率传递函数为: 其中  是滤波器纹波大小(由于  在通带范围内是  ，所以我们可以控制  就可控制纹波大小)，  是切比雪夫多项式.

得到传递函数后首先通过解析开拓计算出极点，选择左半边极点可以获得  ，由特征函数解析开拓，选择合适的零点得到  ，然后由  和  得到归一化阻抗  ，最后通过辗转相除得到元器件值。

我们以3阶切比雪夫滤波器为例说明综合过程，纹波  ，带宽为  ，源阻抗为  ，负载阻抗为  ：

匹配型切比雪夫滤波器有现成的参数计算公式: 详细推导过程可以参考  。

匹配型偶数阶切比雪夫低通滤波器传递函数假设还用前式，不知道有没有发现一个问题，当  时: 所以对于偶数阶切比雪夫滤波器，则得到： 由于切比雪夫滤波器纹波不为0，所以有  ，这和匹配型的最初定义相互矛盾，所以在匹配状态下我们不能使用和奇数阶滤波器相同的传递函数表达式。

那么如何解决这一问题的呢？

使用频率变换的方法  ，对于一个4阶的低通滤波器，我们可以这样转化达到目的：

将4阶低通滤波器的形状转化为一个3阶低通滤波器的形状，我们找到4阶低通滤波器的最接近0频率的且衰减为0的一个点  ，我们想要的是当输入频率  时，给到函数的频率  ，当输入频率为  时，给到函数的频率  ，当输入频率为无穷是，给到函数的频率也为无穷，相当于将4次滤波器的  往0频压缩，如下动图所示效果(蓝色线为原始切比雪夫函数的4阶滤波器，红色线显示了通过频率变换后的4阶频率响应曲线，频率变换后，其截止特性要比原本的差一点，但是总的来说比低一阶的要好)：

频率变换公式如下: 其中  ，可以满足上述要求，所以最终得到偶数阶匹配的切比雪夫低通滤波器传递函数为： 下图为4阶切比雪夫低通滤波器的设计过程，纹波  ，带宽为  ，源阻抗为  ，负载阻抗为  :

偶数阶切比雪夫滤波器综合没有现成的公式，只能使用这种辗转相除的办法去综合实际器件，为了普适性，滤波器软件中采用辗转相除法计算器件系数。

由衰减确定滤波器阶数

设滤波器综合中通带频率为  ，其纹波为   dB，截止频率为  ，衰减为  dB.示意图如下：

所要求的通带到阻带的衰减是  ，可以通过计算得到衰减和阶数关系为： 当  比较大时相同条件下切比雪夫滤波器的衰减比巴特沃斯滤波器衰减大  .

非匹配型切比雪夫滤波器综合

非匹配型切比雪夫滤波器的频率传递函数为: 其中  是一个"增益因子"，这个增益因子的求解可以通过在  时求解，当  时，滤波器为直通状态，整个电路就是两个电阻的分压，计算有效衰减值得到： 如  则得到  。

这里要注意的是滤波器设计中的传递函数计算使用的是有效衰减值，而不是插入损耗，两者有明显的区别。有效衰减计算的是负载所获得的功率比上负载可能获得的最大功率；而插入损耗是系统中接入网络后的输出电压比不接入网络输出电压比。

有效衰减定义  ： 插入衰减定义   两者关系，如下： 当  时，两者衰减量一致，但是当  时，这两者存在明显差异，  总是要大于  ，这种差异在衰减器设计中尤其会误导设计人员，如  ,   ，这时若使用不同的衰减来计算会得到不同的结果，大多数情况下设计软件采用的是有效衰减，但是有效衰减有个致命缺陷是当  或  时，定义会失效，其根本原因是有效衰减是以功率计算的，当满足上述条件时，负载获得的功率为0，这会使得定义失去意义。

非匹配型切比雪夫滤波器的极点位置和匹配性的完全相同，唯一不同的是特征函数。

使用  解析开拓来进行求解，其他过程相同，具体推导过程见附件资料  。

切比雪夫滤波器的零极点分析

切比雪夫低通滤波器的极点在一个椭圆上，可以通过  的公式(这里仅仅讨论匹配型切比雪夫滤波器)进行推导: 令公式的分母等于0，得到极点位置公式为： 根据切比雪夫公式得到: 还是使用欧拉公式： 通过求解得到：

实部： 虚部： 其中:   可见  的极点落在一个椭圆上，我们取复平面的左边极点即可得到  的通项公式。

不同通带类型滤波器零极点图如下：

设低通极点位置为  则：

高通极点位置为: 带通极点位置为(  表示  ):

带阻极点位置为(  表示  ):

不同滤波器通带类型之间的转换

只要有了低通原型，其他滤波器通带类型之间的转换同模拟无源滤波器设计(五)-Butterworth滤波器设计详解。

逆切比雪夫滤波器设计

逆切比雪夫(Inverse Chebyshev)滤波器也称为Chebyshev II滤波器，其特点是有最平坦的通带频率响应，阻带具有等纹波特性。那么怎么从切比雪夫滤波器出发推导出切比雪夫滤波器呢？

请看如下变换关系：

首先考虑切比雪夫低通滤波器在通带内具有等纹波特性，阻带随着频率升高幅度逐渐衰减到0，同之前分析高通滤波器那样，使用  替代  即可得到高通滤波器特性，从图形中可以看到，若我们用1减去这个高通滤波器，则可以得到逆切比雪夫滤波器，如下动画展示了此过程：

通过这个变换我们得到了逆切比雪夫滤波器幅度公式: 从中可以看到逆切比雪夫滤波器除了有极点还有零点。

逆切比雪夫滤波器零点位置为  ： 极点位置为： 逆切比雪夫滤波器的极点和切比雪夫滤波器极点互为倒数。

在进行逆切比雪夫滤波器设计时也需要特别注意偶数阶滤波器设计，也是需要和前述切比雪夫滤波器一样进行频率变换的。原因可以这样理解，由于未变换前逆切比雪夫滤波器在频率为无穷大时不可能衰减不为0，所以需要进行频率变换让频率无穷大时滤波器衰减为0.

逆切比雪夫滤波器是从切比雪夫滤波器导出，原切比雪夫滤波器的3dB截止频率点变为逆切比雪夫的截止频率点，所以截止频率位置也需要进行频率变换  ： 逆切比雪夫滤波器的器件综合过程中，由于存在零点，故再也不能使用全极点的辗转相除的办法求得器件参数值，只能通过零点移位技术(Zero-Shifting Technique)来求得器件参数，Matlab代码中已经实现了这一过程。

如下图所示为匹配型3阶逆切比雪夫滤波器的综合过程，衰减  ，纹波  ，带宽为  ，源阻抗为  ，负载阻抗为  ：

如下图所示为非匹配性3阶逆切比雪夫滤波器的综合过程，衰减  ，纹波  ，带宽为  ，源阻抗为  ，负载阻抗为  ：

不同滤波器类型零极点对比

切比雪夫滤波器和巴特沃斯滤波器

切比雪夫滤波器和巴特沃斯滤波器无零点，属于全极点滤波器。

切比雪夫滤波器极点排布为一个椭圆，椭圆长短半轴比越大纹波越大，这也是容易理解的，低频的极点越靠近虚轴，那么极点所带来的影响越大，纹波也越大。当纹波Ap特别小时，可以看到极点非常接近一个圆，这时滤波器就呈现巴特沃斯滤波器特性，所以从这点看巴特沃斯滤波器只是切比雪夫滤波器的一种特殊情况(即Ap=0，但是如果你用切比雪夫滤波器软件来实现会出现错误，因为当纹波Ap=0dB时，截止频率Fp=0Hz，这种情况下软件会报错)。

切比雪夫滤波器当阶数和-3dB截止频率位置一定时，不同纹波的滤波器其极点的虚轴坐标位置不变。利用这一点可以通过频响曲线鼓包来推测滤波器阶数，切比雪夫滤波器的纹波起伏是怎么来的呢，其中的衰减最小点是由极点带来的，因为每个极点都会在对应的频率点提供一个频率鼓包，两个频率之间的位置上就有一个凹坑，频响曲线上有多少个鼓包就有多少个对应的极点，如上图中的曲线在频率响应曲线上带来了4个鼓包，那么就有4个极点对应，由于在负频率上有另外一半，减去0频率上的多算的一个，滤波器阶数即为4*2-1=7阶。

逆切比雪夫滤波器

与前面切比雪夫滤波器类似，逆切比雪夫滤波器的零极点动画如下：

图中的蓝色虚线是对应的切比雪夫滤波器极点位置，是一个椭圆曲线，绿色虚线是巴特沃斯极点位置是一个圆，而逆切比雪夫滤波器的极点位置如图红色虚线所示，位置为切比雪夫滤波器极点关于圆的特殊对称点，若以逆切比雪夫极点为起点过零点画一条直线，那么这条直线必经过对应切比雪夫滤波器的一个极点，并且两个极点到圆的距离呈现反比关系。

另外逆切比雪夫滤波器在阻带衰减非常大时，这时零点位置比较远，极点接近一个圆，这也反映了逆切比雪夫滤波器在通带有最大平坦度这一特性。下图所示的就是三种滤波器的零极点图，只是这三个极点几乎要重合为同一个圆了。

各位看官，到这里不知道大家有没有考虑过若在上述情况下将极点位置由一个圆变为椭圆会怎么样？是不是这样我们既可以在通带等纹波又可以阻带等纹波？对了，这也是我们下一回将要讲到的椭圆函数滤波器设计。

切比雪夫滤波器设计软件

基于Matlab的appdesign工具开发了一套切比雪夫滤波器设计软件，主要特点是：

支持切比雪夫滤波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫滤波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯滤波器(Butterworth)设计

支持4种不同滤波器通带类型(LPF,HPF,BPF,BRF)设计

T型和PI型结构滤波器随意切换

可以设置阻带衰减决定滤波器阶数

可以设置通带衰减来综合滤波器

可以随意配置负载和终端阻抗，并支持一端接载(源端电阻短路，源端电流源，终端开路，终端短路)设计

可以幅频响应分析、零极点分析、瞬态分析

可以显示理想频率响应、零极点和实际仿真的的频率响应、零极点

可以支持实际标准器件逼近设计

切比雪夫LPF设计举例

设计一款-3dB截止频率为1GHz，7阶低通Chebyshev滤波器，输入输出阻抗为50欧姆，设计过程如下：

最终设计参数如下：

零极点仿真结果：

逆切比雪夫BPF设计举例

设计3阶带通逆切比雪夫滤波器(Chebyshev II)，中心频率为1GHz，带宽为500MHz，电流输入，输出阻抗为600欧姆，并且选择E24系列器件进行综合，最后进行瞬态仿真，设计过程如下：

最终设计参数如下(可以看到使用实际的E24系列电感和电容设计带通滤波器频率响应和理论值偏差很大，这部分功能还有优化空间)：

瞬态仿真结果：

程序的Matalb源码已经上传GitHub中  (https://github.com/etools361/MatlabChebyshevFilterDesignApp.git)，有兴趣的同学可以下载试用体验，当然也欢迎技术交流。

审核编辑：汤梓红