模拟滤波器设计研究

摘  要：

模拟滤波器是信号监测、控制等领域不可或缺的前端去噪方法，一般用硬件电路实现，其中巴特沃兹型滤波器应用较为广泛。现总结了设计和采用电路实现高阶巴特沃兹型滤波器的方法，首先根据工程设计指标确定其阶数，求取其传递函数，再将高阶传递函数转换为多个低阶传递函数级联，最后采用运放和阻容等器件实现其对应的滤波器。通过设计实例仿真及电路测试，证实了设计和实现方法的正确性与精准性，能够为高性能复杂模拟滤波器设计提供参考。

0引言

滤波器按处理信号类型分为模拟滤波器（Analog Filter）和数字滤波器（Digital Filter）。模拟滤波器用模拟电路实现，数字滤波器用计算机、数字芯片进行相关数字处理，通过一定运算关系改变输入信号的频谱分布[1]。模拟滤波器由于处理信号范围大，不需要运算资源，一般作为信号采集处理的前级，消除噪声、干扰，为后级采集提供需要频段的信号输入，多采用硬件电路直接实现，是信号监测、控制设备必需的硬件电路，应用极为广泛。

对一些干扰严重或有用信号微弱的场合，需要高阶模拟滤波器消除干扰，提高采集的信噪比，而高阶滤波器参数很多，计算非常复杂，难以与设计指标要求精确对应。因此，本文主要研究设计一套简便的计算方法，并能通过计算机自动计算，提高设计的自动化水平，以便快捷地设计出精准的高阶模拟滤波器。      

1模拟滤波器

1.1  模拟滤波器分类

仅由无源器件（电容、电感、电阻）组成的滤波电路，称为无源滤波器；由无源器件和有源器件（晶体管、MOS管、运算放大器等）组成的滤波电路，称为有源滤波器。无源滤波器由于其通带放大倍数和截止频率随负载变化，往往不符合信号处理要求[2]，为了精确进行信号滤波去噪，多采用有源滤波器。

1.2  模拟滤波器的传递函数

要精确分析有源滤波器，需要通过“拉氏变换”求取输出量Uo（s）与输入量Ui（s）之比，即传递函数H（s），其形式如下：

式中：s为拉氏变量；aj和bj为网络结构参数确定的实常数。

线性网络稳定条件：bi＞0，n≥m。n为阶数，阶数越大，通带外衰减越快。

根据传递函数理论，对于实系数的传递函数，式（1）可以改写为：

式（2）中，M或N为奇数时，会出现其对应二次分式退化为一次分式的情况，即ai2或bj2为0。该式表明任何复杂的滤波网络都可以等效为多个简单的一阶和二级滤波器级联[3]。

根据传递函数不同，模拟滤波器常用的有巴特沃兹（Butterworth）型滤波器、切比雪夫（Chebyshev）型滤波器和椭圆型（Elliptic）滤波器[3]。巴特沃兹型滤波器由于其通带内比较平坦，不像其他滤波器通带纹波起伏较大，且计算简单，实现方便，因此应用最为广泛。

巴特沃兹低通滤波器幅度平方函数如下：

式中：|H（jω）|为信号幅值；ω为角频率；ωc为截止角频率；n为滤波器阶数。

巴特沃兹高通滤波器幅度平方函数如下：

1.3  模拟滤波器的指标要求

模拟低通滤波器的工程技术指标如图1所示，图中ωp为通带上限截止频率，ωs为阻带下限频率。

设通带最大允许衰减为ap，阻带最小允许衰减为as，其定义如下：

2模拟滤波器设计

一个低通模拟滤波器就是根据ωp、ωs、ap、as确定滤波器的传递函数，然后根据传递函数分解为多个一阶、二阶滤波器的级联。由于有源一阶、二阶滤波器形式比较固定，一般由运放和电阻、电容等器件组成，这些简单的滤波器就可以根据确定的传递函数按图索骥确定阻容参数，从而搭建出来。

高通滤波器类似，也是由ωp、ωs、ap、as确定滤波器的传递函数，并确定级联低阶滤波器的。而带通滤波器则是由低通和高通滤波器级联，只要分别设计低通和高通滤波器即可。

2.1  归一化设计思想

为简化计算，需要用到归一化设计的思想。频率归一化是指将所有频率都除以基准频率，即滤波器截止频率，并将|H（j0）|归一化到1，则得到Ha（*），即归一化后的滤波器频率响应函数：

计算实际电路参数时需要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化。

2.2  确定滤波器阶数和截止频率

首先根据低通滤波器工程指标要求确定阶数n，n满足下式并需要向上取整：

如果要计算高通滤波器，式（9）中分母变为ωp/ωs。

再求取截止频率ωc，取下面两个式子中计算的较小值：

如果要计算高通滤波器，上面两式中的-1/2n应改写为1/2n，同样是取计算出的较小值作为截止频率。

2.3  求Ha（s）并反归一化处理

将s=jω代入低通巴特沃兹型滤波器公式（3），求取归一化极点sk，构造Ha（s）。

由于每次计算极点sk比较麻烦，一般根据阶数n，Ha（s）的分母可以通过查询巴特沃兹归一化低通滤波器分母多项式系数表得到，并且分母多项式还可以通过查询分母多项式因式分解表进行因式分解，从而将Ha（s）的低阶级联滤波器传递函数求出。

求出低通滤波器的Ha（s）后需要进行反归一化，即将Ha（s）中的s用s/ωc代替，从而得到最终的低通滤波器传递函数。如果求取的是高通滤波器，则将Ha（s）中的s用ωc/s代替即可。

3模拟滤波器实现和仿真验证

以某高通模拟滤波器为例，详细描述其设计实现过程。该滤波器要求通带下限为10 Hz，通带内幅值起伏不超过2%，阻带上限3 Hz，阻带内需要将信号衰减到10%以内。因此可以得到：ωp=10 Hz，ωs=3 Hz，ap=0.175 5 dB，as=20 dB。

代入公式（9），求得n=3.232 4，向上取整n=4，即需要4阶高通滤波器才能满足要求。

根据公式（10）和（11），求得ωc=33.477 7，注意计算时将公式中的-1/2n改写为1/2n。

接着查表得到4阶归一化滤波器传递函数G，求出G后将G中的s用ωc/s代替，即可求出真正的高通滤波器传递函数G0。

利用Matlab可以快速有效地设计出所需的滤波器[4]。为了快速求取G，可以使用Matlab计算，代码如下：

wph = 2 * pi * 10;

wsh = 2 * pi * 3;

Rph = 0.1755;

Ash = 20;

[N,wc] = buttord(wph, wsh, Rph, Ash, 's');

[B,A] = butter(N, wc,'high','s');

G=tf(B,A)

根据程序求出的G求出G0。为了能够电路实现，还需要将G0因式分解为两个二阶滤波器级联，最终结果如下：

由此可以设计出如图2形式的两个二阶有源高通滤波器级联，最终实现满足工程指标要求的滤波器。

计算每个二阶高通滤波器中阻容参数时，由于电容型号较少，可以先固定电容值并让两个电容值相等，再确定电阻值。计算得到的组成上面电路的一组阻容参数为：R11=11 427 Ω，R12=78 064 Ω，C11=1 μF，C12=1 μF；R21=27 591 Ω，R22=32 331 Ω，C21=1 μF，C22=1 μF。

在Matlab中对G0进行仿真，得到结果如图3所示，可以看到在3 Hz已经将信号衰减到-20 dB，在10 Hz以上通带内信号起伏不超过0.027 7 dB，满足指标要求。

根据本设计选择高精度阻容搭建电路，经验证滤波指标误差不超过2%，满足工程设计要求。

4结语

模拟滤波器是信号监测、控制等领域不可或缺的前端去噪方法，一般用硬件电路实现，其中巴特沃兹型滤波器应用较为广泛。本文总结了设计和采用电路实现高阶巴特沃兹型滤波器的方法，首先根据工程设计指标确定其阶数，并求取其传递函数，经高阶传递函数转换为多个低阶传递函数级联，并分别选取合适的运放和阻容等器件实现。通过设计实例仿真和电路测试，证实了设计的正确性和精准性，能够为高性能复杂模拟滤波器设计提供参考。

审核编辑：汤梓红