关于RC的时间常数和截止频率的关系分析

　　什么是RC的时间常数：

　　RC的时间常数：表示过渡反应的时间过程的常数。在电阻、电容的电路中，它是电阻和电容的乘积。若C的单位是μF（微法），R的单位是MΩ（兆欧），时间常数的单位就是秒。在这样的电路中当恒定电流I流过时，电容的端电压达到最大值（等于IR）的1-1/e时即约0.63倍所需要的时间即是时间常数 ，而在电路断开时，时间常数是电容的端电压达到最大值的1/e，即约0.37倍时所需要的时间。

　　RLC暂态电路时间常数是在RC电路中，电容电压Uc总是由初始值UC（0）按指数规律单调的衰减到零，其时间常数 =RC。

　　时间常数RC的计算方法：

　　进入正题前，我们先来回顾下电容的充放电时间计算公式，假设有电源Vu通过电阻R给电容C充电，V0为电容上的初始电压值，Vu为电容充满电后的电压值，Vt为任意时刻t时电容上的电压值，那么便可以得到如下的计算公式：

　　Vt = V0 + （Vu – V0） * ［1 – exp（ -t/RC）］

　　如果电容上的初始电压为0，则公式可以简化为：

　　Vt = Vu * ［1 – exp（ -t/RC）］

　　由上述公式可知，因为指数值只可能无限接近于0，但永远不会等于0，所以电容电量要完全充满，需要无穷大的时间。

　　当t = RC时，Vt = 0.63Vu；

　　当t = 2RC时，Vt = 0.86Vu；

　　当t = 3RC时，Vt = 0.95Vu；

　　当t = 4RC时，Vt = 0.98Vu；

　　当t = 5RC时，Vt = 0.99Vu；

　　可见，经过3~5个RC后，充电过程基本结束。

　　当电容充满电后，将电源Vu短路，电容C会通过R放电，则任意时刻t，电容上的电压为：

　　Vt = Vu * exp（ -t/RC）

　　对于简单的串联电路，时间常数就等于电阻R和电容C的乘积，但是，在实际电路中，时间常数RC并不那么容易算，例如下图（a）。

　　对于上图（a），如果从充电的角度去计算时间常数会比较难，我们不妨换个角度来思考，我们知道，时间常数只与电阻和电容有关，而与电源无关，对于简单的由一个电阻R和一个电容C串联的电路来说，其充电和放电的时间参数是一样的，都是RC，所以，我们可以把上图中的电源短路，使电容C1放电，如上图（b）所示，很容易得到其时间常数：

　　t = RC = （R1//R2）*C

　　使用同样的方法，可以将下图（a）电路等效成（b）的放电电路形式，得到电路的时间常数：

　　t = RC = R1*（C1+C2）

　　用同样的方法，可以将下图（a）电路等效成（b）的放电电路形式，得到电路的时间常数：

　　t = RC = （（R1//R3//R4）+R2）*C1

　　什么是截止频率？

　　当保持输入信号的幅度不变，改变频率使输出信号降至最大值的0.707倍，即用频响特性来表述即为-3dB点处即为截止频率，它是用来说明频率特性指标的一个特殊频率。

　　截止频率的算法：

　　利用系统函数的模来表示电路的放大倍数，由于20lgA（ω）=-3dB，解得A（ω）=10^-0.15=0.707945784≈1/√2，又因为A（ω）=|H（jω）|，则|H（jω）|^2=1/2在高频端和低频端各有一个截止频率，分别称为上截止频率和下截止频率。两个截止频率之间的频率范围称为通频带。

　　RC的时间常数和截止频率的关系：

　　时间常数t = RC，截止频率f = 1/2 π RC。在无源滤波器输入端的RC，他的截止频率是1/2 π RC，RC越大，他的截止频率越小，同理他的时间常数也越大，则充放电时间也越长。

　　其次，时间常数和截止频率是从不同方面分析RC充电电路所用的描述量。当我们从时域角度分析RC电路，我们会用RC充电常数。当我们从频域角度分析RC电路（即RC滤波器），我们会用截止频率。当输入量的频率等于截止频率时，输出与输入的幅值之比为0.707，即增益为-3dB。