一个简单的线性规划问题

Linear Programming线性规划，就是目标函数和约束条件都是线性的优化问题，是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，英文缩写LP。

一、业务问题描述：这是一个简单的线性规划问题，具体要求如下：

某公司生产氨气（NH3）和氯化铵（NH4CI）, 公司的日处理能力为50单位的氮（N）, 180单位的氨（H）, 40单位氯（CI）.  氨气的利润为30$/每单位、氯化铵的利润为40$/每单位，如何确定氨气和氯化铵的产量，使利润最大？

二、从数学的角度理解和定义该问题：

将上述生产问题转为为数学问题，建立数学模型一般有以下三个步骤：

1.      根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

2.      由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；

3.      由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

三、OPL模型建立的步骤

下面用OPL语言来理解和定义该问题，OPL模型就是寻找决策变量，使得决策变量满足约束条件并取得目标函数最值的过程。下面是求解该问题的几个步骤：

1.      定义该问题的数据变量，

为了方便起见，以下定义的数据变量均为数组变量，数组是有序数据的集合，一个数组中的每一个元素都属于同一种数据类型。

（1）Products                       代表气体的名称，

{string}Products = ...;

即定义了数组名为“Products”的字符串数组，一维数组。

（2）Components              代表所含的成分，

{string} Components = ...;

即定义了数组名为“Components”的字符串数组，一维数组。

（3）Demand                  代表每种气体所含的成分，

floatDemand[Products][Components] = ...;

即定义了数组名为“Demand”的浮点型数组，二维数组。

（4）Profit              代表对应气体的利润，

float Profit[Products] =...;

即定义了数组名为“Profit”的浮点型数组，一维数组。

（5）Stock      代表该成分的日处理能力，

float Stock[Components] =...;

即定义了数组名为“Stock”的浮点型数组，一维数组。

2.      数据的初始化；

定义了数据变量之后，要进行数据的初始化，所谓初始化就是给数据变量赋值，下面依次给上述定义的数据变量赋值：

Products = { "NH3" "NH4CI"};

Components = { "N" "H" "CI"};

Demand = [ [1 3 0] [1 4 1] ];

Profit = [30 40];

Stock = [50 180 40];

3.      定义决策变量，数据变量和决策变量是有区别的，数据变量是具体数据的名称，比如之前定义的数据变量“Products”，代表该公司生产气体的名称，而决策变量是针对数学模型来说的，这个问题所需做的决策即每种气体的产量，

dvar float+Production[Products];

dvar(decision variable)是定义决策变量的一个最常用的关键字，

此处定义了变量名为”Production”的决策变量，代表两种气体的产量，其实是浮点型数组。

4. 目标函数的定义，即利润最大化，目标函数是决策变量的线性函数，

maximize

sum( p in Products )

Profit[p] * Production[p];

5. 约束条件的设定，有三种成分有日处理能力的限制，用很简洁的写法实现：

subject to {

forall( c in Components )

ct:

sum( p in Products )

Demand[p][c] * Production[p] <= Stock[c];

}

四、用IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8来求解该问题

IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8来求解该问题的具体操作过程如下：

打开软件界面，有四个常用的窗口，分别是OPL项目导航窗口、编辑窗口、问题浏览器窗口、输出窗口；

新建一个OPL项目，项目名称是“gaseous”，勾选”Adda default Run Configuration”、“CreateModel”和“CreateData”，即该OPL项目包含一个模型文件和一个数据文件；

编辑模型文件的内容，即“gaseous.mod”文件

该模型文件的内容包含四部分内容： 

（1） 定义数据变量；

（2）  定义决策变量；

（3）  设定目标函数；

（4）  设定约束条件；

编辑数据文件的内容，即“gaseous.dat”文件

然后在”Configuration(default)”上执行：

执行 Run Configuration，得到如下输出结果：

五、业务解读

从IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8的运行结果，可知当氨气的产量为6.6667个单位，氯化铵的产量为40个单位时，该公司得到最大利润，并满足当日每种成分的处理能力限制。