推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式

一、基本公式

对于一个时间函数的正弦波：

即函数是u＝F(t)，注意u≠sin(t)，F≠sin。

但是它是一个正弦波，故u＝sin(￡)，￡与t存在关系

即：u＝F(t)＝sin(￡)，￡与t存在关系，￡的单位是角度，t的单位是秒。sin只能对“角度”，不能对“秒”。“秒”要转换成“角度”才能sin。

现在来求解￡是什么，发现：

O点，t＝0时，￡＝0

A点，t＝T时，￡＝2π

B点，t＝2T时，￡＝2×2π

即￡与t的关系是 ￡＝（2π/T）×t

故得：u＝F(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/T）t) ！！！！

另，

角速度＝2π/t

角频率ω＝2π/T＝2πf，T为周期，f为频率

故最终：u＝sinωt ！！！！

即t乘以ω后，就变成角度了，ωt是角度，就可以sin了！

二、对于各种提前、延后的情况：

即sin函数里面的都是角度！

时间需要乘以ω转成角度。

角度要转成时间，就要除以ω。

π／2＝ω×T／4，即T／4相当于是π／2。

三、平均值

时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。

1. 正弦波平均值肯定为0。

把角度当作时间来简化计算。

把2π当作周期T，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。

在一个周期T内的平均值，即是∫u×dt／T，即相当于∫u×d￡／2π

用角度时：u=sin￡

则∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π

在0～2π区间作积分：

故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝0

2. 全波整流的平均值：

只要计算0～π即可：

∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366

即平均值＝峰值的0.6366倍。

3. 半波整流的平均值

计算0～π,但周期要按2π算：

∫sin￡d￡／2π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／2π＝0.3183

即平均值＝峰值的0.3183倍。

四、有效值

时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。

1. 正弦波有效值

把角度当作时间来简化计算。

把2π当作周期T，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。

在一个周期T内的有效值，即是计算一个周期T内的热量值相同的等效电压：

一个周期T内的热量值（假设电阻R＝1）：∫u^2×dt，即相当于∫u^2×d￡

用角度时：u=sin￡

则∫u^2×d￡＝∫sin2￡×d￡

在0～2π区间作积分：

故∫sin2￡d￡＝（2π／2－1／4×sin4π）-（0／2－1／4×sin0）＝π

等效电压Uo产生的热量值＝Uo^2×2π等于∫sin2￡d￡＝π

故：Uo^2×2π＝π

最终得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

2. 全波整流的有效值：

只要计算0～π即可：

故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2

故：Uo^2×π＝π／2

最终得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

3. 半波整流的有效值

只要计算0～π，但周期要按2π算：

故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2

故：Uo^2×2π＝π／2

最终得：Uo＝0.5

即有效值等于峰值的0.5倍

五、汇总

总之，sin函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间来计算。