卡诺图

卡诺图

卡诺图是逻辑函数的图形表示。利用卡诺图可以简化逻辑函数。

卡诺图的构成
卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n，则最小项的数目为 。二个变量的卡诺图见下图所示。图中第一行表示   ，第二行表示A；第一列表示   ，第二列表示B。这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。

三变量卡诺图 

三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格；
AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个； 原变量与非变量各占4格。

四变量卡诺图

四变量卡诺图由16个最小项m₀—m₁₅组成，每个最小项占一个方格；

纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；

原变量与非变量各占8格

卡诺图的有用组合

卡诺图二方格相邻组合

几何相邻的两个最小项是逻辑相邻的（两个最小项中只有一个变量不同）；
有些方格几何上不相邻，但逻辑上却是相邻的；
任何两个最小项可以合并成最小项，且可减少一个变量。
【例3】四方格卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)

第一种组合方式：

	_ _
m8+m12=	A C D	（几何相邻）
	_ _
m2+m3=	A B C	（几何相邻）
	_   _
m2+m10=	B C D	（几何不相邻，逻辑相邻）

    第二种组合方式：

	_ _
m8+m12=	A C D
	_ _
m2+m3=	A B C
	_ _
m8+m10=	A B D	（几何不相邻，逻辑相邻）

　

F(A,B,C,D)	=∑m(2,3,8,10,12)
	_ _   _ _     _   _
	=A C D + A B C + B C D
	_ _   _ _       _ _
	=A C D + A B C + A B D

两种表达式虽然形式不同，但逻辑上是等价的。另外，m₂、m₈重复使用是允许的。

卡诺图四方格相邻组合

四方格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。

图(a)中，

	_
F(A,B,C,D)=∑m(1,3,5,7)=	AD

    图(b)中，

	_
F(A,B,C,D)=∑m(1,5,9,13)=	CD

    图(c)中，

F(A,B,C,D)=∑m(0,2,8,10)=	？

    图(d)中，

F(A,B,C,D)=∑m(4,6,12,14)=	？

卡诺图八方格相邻组合

图（a)中，F（A，B，C，D）=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7）=Ã
    图（b)中，F（A，B，C，D）=∑m(0，4，12，8，2，6，14，10)=？

用卡诺图简化逻辑函数

简化规则
必须使每个方格（最小项）至少被包含一次；
使每个组合包含尽可能多的方格；
所有的方格包含在尽可能少的不同组合中。

简化步骤

逻辑函数未用最小项表示的简化

逻辑函数未用最小项表示照样可以化简。如果F采用与—或表达式，在填入卡诺图过程中就能把函数展开成最小项。

具有无关项的化简
无关项又叫任意项，是一种最小项，其值可以取0或1。利用无关项这一特点，可以使函数简化。

用卡诺图化简逻辑函数的步骤
如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。
合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈
尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
圈的个数尽量少。
卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。