PID到底是什么PID的本质详细分析

入住头条有1年多了，第一次发文。我是一只在无人机领域的嵌入式工程狮，看了头条上很多的对PID解说的专业文章，几乎都是从控制上切入的，这里我从不同的角度来分析PID。

先说结论：PID的本质是跟随器，用于跟踪给定信号。

很多朋友在这里又会发问了，PID不是控制器吗？在某权威百科上面的解释就是：比例（P）积分（I）微分（D）控制，简称PID控制。这是没错的，PID算法从100年前开始出现，就开始广泛的用于工业控制，PID的起源就是用于做控制器。看起来PID和控制是分不开的，实则不然。

从PID的公式也可以看出，e是目标量和输出量的偏差，当误差e趋近0时，输出u将收敛到一个固定值。最终PID实现的效果就是将目标量和输出量两者的偏差归零，当目标量变化时，输出量也会跟随着目标量变化，也就是说输出量通过PID来跟随目标量。

下面我从两个例子来说明PID分别作为控制器使用和信号跟随器的使用。

PID作为控制器——水箱液位控制

这里水箱的液位我们假设没有延迟，设计一个PID控制器来控制液位，误差e为目标液位和输出量为液位之差。u为执行器输出，这里是阀门开度，大于0为注水，小于0为放水。具体代码不在此赘述。

刚开始的时候，把液位设置到5米，2秒后实际液位基本到达5米。在50s的时候，把目标液位设置为2米，液位下降，2秒后稳定到2米。说明PID完成了它原始的使命——作为控制器使用。

PID作为信号跟随器——倾角传感器的设计

这里倾角传感器的设计就不涉及到任何控制了。我们的目标是测量角度，硬件选用加速度计和陀螺仪构成。为了方便，我们只测量单轴角度，这里用2轴微电子加速度计和1轴微电子陀螺仪。

陀螺仪的输出量是角速度，角速度积分就是角度，这不是用陀螺仪就能解决了吗？为什么还要加速度计呢？是因为陀螺仪输出的角速度包含有各种噪声，积分得到的角度会随着时间误差越来越大。具体的可以看下面的图像分析。

上面左图是以1度/秒的角速度运动10秒，右图在角速度1度/秒的基础上加了±0.5度/秒的随机噪声，可以发现在10秒后角度值为106度（图可能看不清），这是因为角度值的获取是通过角速度积分得到的，存在累计误差。而加速度计具备良好的稳定性，测量的偏移也很小，最重要的是它测量的角度没有累计误差。

θacc是加速度计测量的倾角。定义当测量角为0时，az沿着重力方向竖直向下，和重力加速度的关系是az=g*cos(θacc)，ax垂直于az，和重力加速度的关系是az=g*sin(θacc)。这就是加速度计测量倾角的原理。

那既然加速度计没有累计误差，测量比陀螺仪更好，用加速度计就够了嘛，为什么一定要用陀螺仪呢？因为加速度计测量的物理量是比力，而非加速度，加速度是通过比力计算得到的。加速度计不能分辨出是地球引力还是运动外力。所以在被测量物体运动的时候将无法得到准确的倾角。这个时候陀螺仪就起作用了，因为陀螺仪对运动加速度不敏感。

陀螺仪短时间内计算的角度很准确，但时间长了会产生累计误差，加速度计长时间内的稳定弥补了陀螺仪的短缺。加速度计在运动的情况下测量有误差，陀螺仪对运动不敏感。

所以可以用两者的互补关系，来设计一个倾角传感器。那这里面怎么用到PID的性质呢？

我们把加速度求得的角度θacc作为目标量，我们把陀螺仪积分角度θgyro作为输出量。让陀螺仪角度跟随着加速度角度。设计PI跟随器，调节参数，让陀螺仪积分角度θgyro慢慢跟随加速度计算的角度θacc。下图是计算周期为50ms时，kp=0.2，ki=0.005时的效果图像。角速度噪声±0.5度/秒。加速度受到运动的影响，角度噪声为±2度。

在0秒时以角速度10度/秒运动2秒，在2秒时角速度以-10度/秒运动4秒。下面是6s到10s的放大图。

真实角度（蓝色）为-21度，陀螺仪积分角度（紫色）漂移了2度左右，加速度计计算角度（绿）噪声为±2度，组合角度（红，即陀螺仪积分角度跟随加速度计计算角度的结果）保持在真实角度附近，误差不到1度，说明PID完成了它的本质工作——作为信号跟随器使用。