开关电容有源滤波器的时域法特性和频域法特性研究分析

最基本的开关电容电路是由电子开关和电容组成的，主要应用是构成各种低通、高通、带通、带阻等开关电容滤波器（Switched-Capacitor Filter，SCF）。将开关电容电路与运算放大器结合，组成的开关电容有源滤波器具有很多奇特的性质，但由于引入了电子开关，对电路特性进行严密分析变得异常困难，目前已有的分析方法都只是在一定条件下从一个侧面进行近似分析，本文立足于最基本的电路理论，借助计算机系统对其进行复杂而严格的分析计算，最终得到了具有普遍意义的结论，上述文献的结果只是该普遍性结论的特例。

1 、SCF电路

开关电容有源滤波器电路如图1（a），其中S1和S2是由周期为2T的方波信号控制的理想电子开关，方波控制信号p（t）波形如图1（b），其占空系数为0.5。即在2kT《t《（2K+1）T期间两开关接通A点，在（2K+1）T《t《（2K+2）T期间两开关接通B点，其中K=0，1，2，…，是时段编号。

2、 时域法特性分析

时域分析法的思路是根据图1的电路结构建立电路的微分方程（以输出电压为研究对象）。转换周期为2T的电子开关的方波控制信号可表示为周期为2T的周期信号p（t）与单位阶跃信号ε（t）的乘积：

式中：k=0，1，2，…。fT=1／（2T）为开关频率，电路在k时段的时域响应（输出电压）表示为hk（t），并设：

（1）电容C在t=0_时刻电压为零（0_，kT_等带下划线符号表示相应时刻的前瞬，下同），即：

（2）因为狄拉克δ函数激励下的零状态响应h（t）的傅里叶变换即为电路的频率响应函数，即系统（频谱）函数H（Ω），故设电路输入信号（激励）为δ函数，即：

由于电子开关周期性切换，RC电路对外电路的影响表现为：下一时段的输出电压初值是上一时段末时刻输出电压值乘（-1），即：

图1（a）中理想运放反相端为虚地，第0时段（即k=0，0≤t《T）电路响应h0（t）的微分方程为

由式（8）可见，第k段的非零值时区为（kT，（k+1）T_），即各时段非零值区间互不重叠，对hk（t）关于k求和，得开关电容电路（对外）的单位冲激零状态响应h（t）为：

特别注意，求和式是一周期为2T的周期方波p（t）与单位阶跃信号ε（t）的乘积，对上式取Fourier积分变换即得到开关电容电路系统频谱函数（用j表示虚数单位，下同）：

也可以根据式（1）定义的周期为2T的开关方波信号p（t），将式（9）改写为：

易证式（13）与式（10）完全一致，故其幅频特性∣H（Ω）∣仍与式（11）相同。

3、 频域法特性分析

开关周期切换，形成的RC并联支路对外电路的等效电流ie（t）为：

上式说明，Ie（Ω）是输入电流频谱I（Ω）周期延拓的组合，周期为Ω0=2π／T。各电流分量流过RC并联支路时的电压为相应电流分量与RC支路阻抗（R／（1+jωτ），ω=Ω±（2n+1）π／T）的乘积，于是输出电压频谱U（Ω）为：

为求系统频谱函数，取i（t）=-ui（t）／R1=-δ（t）／R1，I（Ω）=-1／R1，得到系统频谱函数：

其中R／R1=τ／τ1，结果与式（14）一致，幅频特性∣H（Ω）∣仍与式（11）相同。

4 、结 语

给定图1（a）电路参数τ和τ1，选择α=τ／T分别取不同值时，根据式（11）做出的归一化幅频特性曲线如图2所示，结合对式（11）做深入分析表明：

（1）α=τ／T较大时电路是梳齿幅度按奇数倒数规律衰减的梳状滤波器，通带中心频率（梳齿）为：

此时图1（a）电路允许f=fT，f=3fT，f=5fT，…等频率成份通过，且随着频率的升高，输出幅度按奇数倒数规律逐渐减小。

（2）α=τ／T较大时，f=（2n）fT（其中n=0，1，2，…）是系统的阻带中心频率，落在这些频点上的信号将获得最小传输系数，最小传输系数（即梳状滤波器幅频曲线谷底高度）为：

（3）该梳状滤波器梳齿间隔（即阻带中心频率或通带中心频率间隔）为△f=2fT。

比较图2可看出：开关转换周期2T（相对于电路时间常数τ）越小，α越大，梳齿间谷底越接近零，梳齿越尖锐（即梳齿带宽越窄）。例如，计算发现：图2（a）中，α=τ／T=10，第一梳齿通带宽度为B0.7=0.394fT。图2（b）中，α=τ／T=2，第一梳齿通带宽度为B0.7=2.33fT。

（4）随着电子开关切换周期2T增大（α减小），梳齿间谷底最小值逐渐增大。电路逐渐过渡为幅频特性曲线轻微起伏的低通滤波器，如图2（d）所示。低通滤波器传输函数极大值为：

由∣H（Ω）∣=0.707∣H（Ω）∣max可以求得低通滤波器上限截止频率，结果表明，对于低通滤波器．仍为α越大，低通滤波器上限频率（即带宽）越小。

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