利用开关电容电路与运算放大器设计开关电容有源滤波器的性能研究

最基本的开关电容电路是由电子开关和电容组成的，主要应用是构成各种低通、高通、带通、带阻等开关电容滤波器（Switched-Capacitor Filter，SCF）。将开关电容电路与运算放大器结合，组成的开关电容有源滤波器具有很多奇特的性质，但由于引入了电子开关，对电路特性进行严密分析变得异常困难，目前已有的分析方法都只是在一定条件下从一个侧面进行近似分析，本文立足于最基本的电路理论，借助计算机系统对其进行复杂而严格的分析计算，最终得到了具有普遍意义的结论，上述文献的结果只是该普遍性结论的特例。

1 SCF电路

开关电容有源滤波器电路如图1（a），其中S1和S2是由周期为2T的方波信号控制的理想电子开关，方波控制信号p（t）波形如图1（b），其占空系数为0.5。即在2kT

2 时域法特性分析

时域分析法的思路是根据图1的电路结构建立电路的微分方程（以输出电压为研究对象）。转换周期为2T的电子开关的方波控制信号可表示为周期为2T的周期信号p（t）与单位阶跃信号ε（t）的乘积：

式中：k=0，1，2，…。fT=1／（2T）为开关频率，电路在k时段的时域响应（输出电压）表示为hk（t），并设：

（1）电容C在t=0_时刻电压为零（0_，kT_等带下划线符号表示相应时刻的前瞬，下同），即：

（2）因为狄拉克δ函数激励下的零状态响应h（t）的傅里叶变换即为电路的频率响应函数，即系统（频谱）函数H（Ω），故设电路输入信号（激励）为δ函数，即：

由于电子开关周期性切换，RC电路对外电路的影响表现为：下一时段的输出电压初值是上一时段末时刻输出电压值乘（-1），即：

图1（a）中理想运放反相端为虚地，第0时段（即k=0，0≤t

由式（8）可见，第k段的非零值时区为（kT，（k+1）T_），即各时段非零值区间互不重叠，对hk（t）关于k求和，得开关电容电路（对外）的单位冲激零状态响应h（t）为：

特别注意，求和式是一周期为2T的周期方波p（t）与单位阶跃信号ε（t）的乘积，对上式取Fourier积分变换即得到开关电容电路系统频谱函数（用j表示虚数单位，下同）：

也可以根据式（1）定义的周期为2T的开关方波信号p（t），将式（9）改写为：

易证式（13）与式（10）完全一致，故其幅频特性∣H（Ω）∣仍与式（11）相同。

3 频域法特性分析

开关周期切换，形成的RC并联支路对外电路的等效电流ie（t）为：

上式说明，Ie（Ω）是输入电流频谱I（Ω）周期延拓的组合，周期为Ω0=2π／T。各电流分量流过RC并联支路时的电压为相应电流分量与RC支路阻抗（R／（1+jωτ），ω=Ω（2n+1）π／T）的乘积，于是输出电压频谱U（Ω）为：

为求系统频谱函数，取i（t）=-ui（t）／R1=-δ（t）／R1，I（Ω）=-1／R1，得到系统频谱函数：

其中R／R1=τ／τ1，结果与式（14）一致，幅频特性∣H（Ω）∣仍与式（11）相同。

4 结 语

给定图1（a）电路参数τ和τ1，选择α=τ／T分别取不同值时，根据式（11）做出的归一化幅频特性曲线如图2所示，结合对式（11）做深入分析表明：

（1）α=τ／T较大时电路是梳齿幅度按奇数倒数规律衰减的梳状滤波器，通带中心频率（梳齿）为：

此时图1（a）电路允许f=fT，f=3fT，f=5fT，…等频率成份通过，且随着频率的升高，输出幅度按奇数倒数规律逐渐减小。

（2）α=τ／T较大时，f=（2n）fT（其中n=0，1，2，…）是系统的阻带中心频率，落在这些频点上的信号将获得最小传输系数，最小传输系数（即梳状滤波器幅频曲线谷底高度）为：

（3）该梳状滤波器梳齿间隔（即阻带中心频率或通带中心频率间隔）为△f=2fT。

比较图2可看出：开关转换周期2T（相对于电路时间常数τ）越小，α越大，梳齿间谷底越接近零，梳齿越尖锐（即梳齿带宽越窄）。例如，计算发现：图2（a）中，α=τ／T=10，第一梳齿通带宽度为B0.7=0.394fT。图2（b）中，α=τ／T=2，第一梳齿通带宽度为B0.7=2.33fT。

（4）随着电子开关切换周期2T增大（α减小），梳齿间谷底最小值逐渐增大。电路逐渐过渡为幅频特性曲线轻微起伏的低通滤波器，如图2（d）所示。低通滤波器传输函数极大值为：

由∣H（Ω）∣=0.707∣H（Ω）∣max可以求得低通滤波器上限截止频率，结果表明，对于低通滤波器．仍为α越大，低通滤波器上限频率（即带宽）越小。

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