CRC校验快速算法的原理及实现改进设计

CRC（循环冗余校验码）编码是数字信号传输中用得较普遍的一种差错控制编码。它不但可以用于纠正独立的随机错误，也可以用于纠正突发错误。CRC校验通常是靠专用硬件电路来实现的，但很多系统为了降低成本，常常利用单片机或微处理器编程来完成这一功能。因此，在器件处理能力有限的情况下，如何提高CRC 校验软件计算的速度，是开发者最为关心的问题。

1 整字节序列的CRC校验快速算法

文献［1］提出了一种针对整字节的CRC快速算法。它的基本思想是预先生成一个余式表，通过查表，利用递推原理进行快速计算。现以 CCITT（国际电话电报咨询委员会）建议的，用于基本型数据传输规程的生成多项式为例，简要介绍此先验算法的基本原理。

设M为由i个字节组成的8×i位二进制序列，用字节形式表示为

截取Mi的前个字节构成一个序列，即

这两个序列之间的关系可以表示为

其中是字节的二进制多项式表示形式，是将序列左移一个字节。

对于序列来说，有

其中，是商多项式，为一整数项;为最高次幂小于15的余数项。而对于Mi序列，

其中为整数项，因此对多项式取余即等效于对多项式取余，记做

这样就形成了递推关系。对于序列，已知就可知，已知就可知，最后就变成了求三字节序列的余式项的问题。

不失一般性，设三字节序列 ，那么

我们可以预先做好一个16×16的［a00］形式的余式表，通过查余式表可以很快知道，而是小于等于16位的二字节序列，除以的余式即为本身。（4）式中的加法运算为模2加（异或运算）。运用此算法就可很快求出整字节的CRC校验码。

2 任意长度序列的CRC校验快速算法

上述算法，只适用于信息长度为整字节的情形;但在实际应用中，往往会遇到计算非整字节的CRC校验码。一种解决方法是，在信息数据前补零，即将信息数据右移，使之成为整字节来计算，这对于信息数据序列不长的情况还是奏效的;但遇到长数据序列，若对每一个字节均进行移位操作，则计算量明显增加，这一缺点对于实时性要求高的系统来说尤其明显。下面以生成多项式为例，提出一种改进算法，可实现任意长度序列快速CRC校验运算。

设D为任意长度的二进制序列，记长度为k位，则k总可以表示成的形式。其中s≥0，且0≤p＜8。这样，就可以将序列D按降幂形式写成 D（x）=xp［d1d2……ds-1ds］+m（x），dj（1≤j≤s）是位长为8的字节，m为序列D除掉整字节后余下的位，为非整字节。记序列 M（x）=［d1d2……ds-1ds］，那么

M（x）为整字节序列，其余式RM（x）可用前面介绍的整字节CRC算法求出。因为生成多项式G（x）=x16+x12+x5+1的最高次幂为 16，所以序列D（x）的余式RD（x）为

其中 ，即形成两个余式的模2加（异或运算），m（x）的长度小于1字节，所以RM（x）是［a00］形式的余式，通过查余式表可以很快得到。

现在来讨论xpRM（x）的计算。RM（x）可以按照上述整字节的快速算法算出结果。因为RM（x）的位长为16，xpRM（x）相当于 RM（x）向左移p位，位长为（16+p）。

因为 0≤p＜8

所以 16≤（16+p）＜24

xpRM（x）可以看成一个3字节序列，定义

其中是2字节序列，长16位，小于生成多项式17位。它们除以生成多项式的余式即为本身，所以

是为样式的余式，可以由余式表直接获得，所以（1）式又可写为

这就是改进后的非整字节CRC校验快速算法。它不需要进行大量的数据移位对齐，比起整字节的算法，只增加了两次查表和两次异或运算，可见其运算量并没有显著增加。

值得提出的是，在文献［1］提出的整字节CRC校验快速算法中，推导递推公式（3）时，作者并没有考虑到序列用于计算CRC校验码时要先移16 位（生成多项式为时）。若读者按照此法，直接用序列来做运算，显然是不对的，必将导致错误结果。

3 适用于单片机或微处理器的算法流程

为了编程方便，我们将需处理的信息序列做以下变形。重写（4）式，在整字节部分的M（x）后补2字节的“0”，得到新数列

其中，用取代M（x）做编程计算，算法流程如图1所示。

图1 算法流程图

结语

任意长度非整字节的CRC快速算法适用的范围很广，只需预先在内存中生成一个余式表，通过查余式表就可以快速计算。由于算法的每一步递推都是以字节为单位的，这样就比传统的以位为单位的算法要快上十几倍。数据序列的长度越长，其体现的优越性就越高。而且算法不要求用于计算的序列为整字节，任意位长均适用，在实际应用中效果显著。

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