非正弦周期信号的傅里叶级数分解

非正弦周期信号的傅里叶级数分解

前面章节中已对直流电路与正弦交流电路的分析计算方法作了详细介绍，当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算。但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应。在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。

对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，把各分量叠加，得到非正弦周期信号激励下的响应。这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。

设周期函数的周期为T，则有：

   （k为任意整数）

如果函数满足狄里赫利条件，那么它就可以分解成为傅里叶级数。一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件，能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题。

对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：

            （6-1-1）

或                 （6-1-2）

式中，称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：

或                           （6-1-3）

展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒定分量），第二项称为基波分量，基波角频率，其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波。高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。当时称为二次谐波，时称为三次谐波等等。是第n次谐波的初相角。

当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得：

         （6-1-4）

下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。

例6-1-1   图6-1-1所示为对称方波电压，其表达式可写为：

求此信号的傅里叶级数展开式。

图 6-1-1

解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得

 

 

由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为

在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。一般只要取前面几项主要谐波分量即可。例如对于上述方波展开的傅里叶级数表达式，当取不同项数合成时，其合成波形画于图6-1-2中。由图可见，当取谐波项数越多时，合成波形就越接近于原来的理想方波，与原波形偏差越小。

图 6-1-2

在对一些非正弦周期信号展开时，可根据函数的对称性质来确定展开式中的系数变化情况。如果函数为偶函数，，波形对称于Y轴（见图6-1-3a），此时它的傅里叶级数展开式中不存在项谐波，即有，此项不必计算。如果函数为奇函数，即有，波形对称于原点（见图6-1-3b），它的傅里叶级数中不包含项谐波与直流分量，即有，。如果函数满足，即将波形移动半个周期后与原波形对称于X轴（见图6-1-3c），则其傅里叶级数展开后不包含偶次谐波分量，即有。关于傅里叶级数的详细讨论可参见有关书籍。

 

图 6-1-3

非正弦周期信号除了可以表示成上述三角函数形式的傅里叶级数展开式外，还可表示成指数形式的傅里叶级数形式。已知函数可展开成傅里叶级数

利用欧拉公式

可得：

因为对于变量n为奇函数，故有：

同时当时，因此可以把表达式中的各项统一表达为：

        （6-1-5）

上式就是傅里叶级数复指数形式的表达式，它把一个周期信号表示成一系列以为指数的复指数函数式，式中：

               （6-1-6）

系数a_n、b_n与傅里叶三角展开式中的系数一致。可由下式直接求出：

或               （6-1-8）

为函数，它代表了信号中各谐波分量的所有信息。的模为对应谐波分量的幅值的一半，而的幅角（当n取正值时）则为对应谐波分量的初相角。它是一个已知信号的频域表达式，与信号的时域表达式是完全等价的。称为给定信号的频谱函数。幅值随变化的关系称为振幅频谱，的相位随变化的关系称为相位频谱。由于系数，，因此振幅频谱为偶函数，而相位频谱则为奇函数。信号所包含的各谐波幅值与相位可用幅频特性和相频特性图来直观表示。

例6-1-2   周期脉冲信号如图6-1-4a所示，求该信号的频谱函数，并作振幅频谱和相位频谱图。

解：由波形图可知：

频谱函数为：

                                                                    （6-1-9）

若，则可得：

由上式可作出振幅频谱与相位频谱图，如图6-1-4b、c所示。

 

图 6-1-4

从振幅频谱图可看出，周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的，所有谱线都出现在基波频率的整数倍的频率上。周期信号的这种频谱称为离散频谱。

从频谱函数表达式中可看出，当脉冲重复周期增大时，基波频率将变小，谱线之间的间隔缩小，同时振幅也随之减小。当T无限增大时，谱线将趋于无限密集，即从离散趋于连续，而幅值却趋于无穷小，这时周期信号也已转化为非周期信号。