一道比较有难度的完美矩形题

今天讲一道非常有意思，而且比较有难度的题目。

我们知道一个矩形有四个顶点，但是只要两个顶点的坐标就可以确定一个矩形了（比如左下角和右上角两个顶点坐标）。

来看看力扣第 391 题「完美矩形」，题目会给我们输入一个数组rectangles，里面装着若干四元组（x1，y1，x2，y2），每个四元组就是记录一个矩形的左下角和右上角顶点坐标。

也就是说，输入的rectangles数组实际上就是很多小矩形，题目要求我们输出一个布尔值，判断这些小矩形能否构成一个「完美矩形」。函数签名如下：

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool

　　所谓「完美矩形」，就是说rectangles中的小矩形拼成图形必须是一个大矩形，且大矩形中不能有重叠和空缺。

　　比如说题目给我们举了几个例子：

 

   

   

 

　　这个题目难度是 Hard，如果没有做过类似的题目，还真做不出来。

　　常规的思路，起码要把最终形成的图形表示出来吧，而且你要有方法去判断两个矩形是否有重叠，是否有空隙，虽然可以做到，不过感觉异常复杂。

　　其实，想判断最终形成的图形是否是完美矩形，需要从「面积」和「顶点」两个角度来处理。

　　先说说什么叫从「面积」的角度。

　　rectangles数组中每个元素都是一个四元组（x1， y1， x2， y2），表示一个小矩形的左下角顶点坐标和右上角顶点坐标。

　　那么假设这些小矩形最终形成了一个「完美矩形」，你会不会求这个完美矩形的左下角顶点坐标（X1， Y1）和右上角顶点的坐标（X2， Y2）？

　　这个很简单吧，左下角顶点（X1， Y1）就是rectangles中所有小矩形中最靠左下角的那个小矩形的左下角顶点；右上角顶点（X2， Y2）就是所有小矩形中最靠右上角的那个小矩形的右上角顶点。

　　注意我们用小写字母表示小矩形的坐标，大写字母表示最终形成的完美矩形的坐标，可以这样写代码：

# 左下角顶点，初始化为正无穷，以便记录最小值
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
# 右上角顶点，初始化为负无穷，以便记录最大值
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')

for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
    # 取小矩形左下角顶点的最小值
    X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
    # 取小矩形右上角顶点的最大值
    X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)

　　这样就能求出完美矩形的左下角顶点坐标（X1， Y1）和右上角顶点的坐标（X2， Y2）了。

　　计算出的X1，Y1，X2，Y2坐标是完美矩形的「理论坐标」，如果所有小矩形的面积之和不等于这个完美矩形的理论面积，那么说明最终形成的图形肯定存在空缺或者重叠，肯定不是完美矩形。

　　代码可以进一步：

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
    X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
    X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
    # 记录所有小矩形的面积之和
    actual_area = 0
    for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
        # 计算完美矩形的理论坐标
        X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
        X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
        # 累加所有小矩形的面积
        actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)

    # 计算完美矩形的理论面积
    expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
    # 面积应该相同
    if actual_area != expected_area:
        return False

    return True

　　这样，「面积」这个维度就完成了，思路其实不难，无非就是假设最终形成的图形是个完美矩形，然后比较面积是否相等，如果不相等的话说明最终形成的图形一定存在空缺或者重叠部分，不是完美矩形。

　　但是反过来说，如果面积相同，是否可以证明最终形成的图形是完美矩形，一定不存在空缺或者重叠？

　　肯定是不行的，举个很简单的例子，你假想一个完美矩形，然后我在它中间挖掉一个小矩形，把这个小矩形向下平移一个单位。这样小矩形的面积之和没变，但是原来的完美矩形中就空缺了一部分，也重叠了一部分，已经不是完美矩形了。

　　综上，即便面积相同，并不能完全保证不存在空缺或者重叠，所以我们需要从「顶点」的维度来辅助判断。

　　记得小学的时候有一道智力题，给你一个矩形，切一刀，剩下的图形有几个顶点？答案是，如果沿着对角线切，就剩 3 个顶点；如果横着或者竖着切，剩 4 个顶点；如果只切掉一个小角，那么会出现 5 个顶点。

　　回到这道题，我们接下来的分析也有那么一点智力题的味道。

　　显然，完美矩形一定只有四个顶点。矩形嘛，按理说应该有四个顶点，如果存在空缺或者重叠的话，肯定不是四个顶点，比如说题目的这两个例子就有不止 4 个顶点：

 

 

　　PS：我也不知道应该用「顶点」还是「角」来形容，好像都不太准确，本文统一用「顶点」来形容，大家理解就好~

　　只要我们想办法计算rectangles中的小矩形最终形成的图形有几个顶点，就能判断最终的图形是不是一个完美矩形了。

　　那么顶点是如何形成的呢？我们倒是一眼就可以看出来顶点在哪里，问题是如何让计算机，让算法知道某一个点是不是顶点呢？这也是本题的难点所在。

　　看下图的四种情况：

 

 

　　图中画红点的地方，什么时候是顶点，什么时候不是顶点？显然，情况一和情况三的时候是顶点，而情况二和情况四的时候不是顶点。

　　也就是说，当某一个点同时是 2 个或者 4 个小矩形的顶点时，该点最终不是顶点；当某一个点同时是 1 个或者 3 个小矩形的顶点时，该点最终是一个顶点。

　　注意，2 和 4 都是偶数，1 和 3 都是奇数，我们想计算最终形成的图形中有几个顶点，也就是要筛选出那些出现了奇数次的顶点，可以这样写代码：

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
    X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
    X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')

    actual_area = 0
    # 哈希集合，记录最终图形的顶点
    points = set()
    for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
        X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
        X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)

        actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
        # 先算出小矩形每个点的坐标
        p1, p2 = (x1, y1), (x1, y2)
        p3, p4 = (x2, y1), (x2, y2)
        # 对于每个点，如果存在集合中，删除它；
        # 如果不存在集合中，添加它；
        # 在集合中剩下的点都是出现奇数次的点
        for p in [p1, p2, p3, p4]:
            if p in points: points.remove(p)
            else: points.add(p)

    expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
    if actual_area != expected_area:
        return False

    return True

　　这段代码中，我们用一个points集合记录rectangles中小矩形组成的最终图形的顶点坐标，关键逻辑在于如何向points中添加坐标：

　　如果某一个顶点p存在于集合points中，则将它删除；如果不存在于集合points中，则将它插入。

　　这个简单的逻辑，让points集合最终只会留下那些出现了 1 次或者 3 次的顶点，那些出现了 2 次或者 4 次的顶点都被消掉了。

　　那么首先想到，points集合中最后应该只有 4 个顶点对吧，如果len（points） ！= 4说明最终构成的图形肯定不是完美矩形。

　　但是如果len（points） == 4是否能说明最终构成的图形肯定是完美矩形呢？也不行，因为题目并没有说rectangles中的小矩形不存在重复，比如下面这种情况：

 

 

　　下面两个矩形重复了，按照我们的算法逻辑，它们的顶点都被消掉了，最终是剩下了四个顶点；再看面积，完美矩形的理论坐标是图中红色的点，计算出的理论面积和实际面积也相同。但是显然这种情况不是题目要求完美矩形。

　　所以不仅要保证len（points） == 4，而且要保证points中最终剩下的点坐标就是完美矩形的四个理论坐标，直接看代码吧：

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
    X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
    X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')

    points = set()
    actual_area = 0
    for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
        # 计算完美矩形的理论顶点坐标
        X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
        X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
        # 累加小矩形的面积
        actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
        # 记录最终形成的图形中的顶点
        p1, p2 = (x1, y1), (x1, y2)
        p3, p4 = (x2, y1), (x2, y2)
        for p in [p1, p2, p3, p4]:
            if p in points: points.remove(p)
            else:           points.add(p)
    # 判断面积是否相同
    expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
    if actual_area != expected_area:
        return False
    # 判断最终留下的顶点个数是否为 4
    if len(points) != 4:       return False
    # 判断留下的 4 个顶点是否是完美矩形的顶点
    if (X1, Y1) not in points: return False
    if (X1, Y2) not in points: return False
    if (X2, Y1) not in points: return False
    if (X2, Y2) not in points: return False
    # 面积和顶点都对应，说明矩形符合题意
    return True

　　这就是最终的解法代码，从「面积」和「顶点」两个维度来判断：

　　1、判断面积，通过完美矩形的理论坐标计算出一个理论面积，然后和rectangles中小矩形的实际面积和做对比。

　　2、判断顶点，points集合中应该只剩下 4 个顶点且剩下的顶点必须都是完美矩形的理论顶点。

　　说实话，如果没做过，这种特性真不是一时半会能想到的，但是看过一遍没问题了，你学会了吗？

责任编辑：xj

原文标题：这道「完美矩形」给我整不会了…

文章出处：【微信公众号：算法与数据结构】欢迎添加关注！文章转载请注明出处。