补码加法,补码加法计算原理

补码加法,补码加法计算原理
　　
　　负数用补码表示后，可以和正数一样来处理。这样，运算器里只需要一个加法器就可以了，不必为了负数的加法运算，再配一个减法器。
　　
　　补码加法的公式是
　　
　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝[ｘ＋ｙ]_补  (mod 2) (2.17)
　　
　　现分四种情况来证明。假设采用定点小数表示，因此证明的先决条件是
　　
　　︱ｘ︱﹤1， ︱ｙ︱﹤1， ︱ｘ＋ｙ︱﹤1。
　　
　　(1)ｘ﹥0，ｙ﹥0，则ｘ＋ｙ﹥0。
　　
　　相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码和原码是一样的，可得：
　　
　　
　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]_补　　     　(mod 2)
　　
　　(2)ｘ﹥0，ｙ﹤0，则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。
　　
　　相加的两数一个为正，一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义，
　　
　　∵　　[ｘ]_补＝ｘ，　　　[ｙ]_补＝2＋ｙ
　　
　　∴　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)
　　
　　当ｘ＋ｙ>0时，2 ＋ (ｘ＋ｙ) > 2，进位2必丢失，又因(ｘ＋ｙ)>0，
　　
　　故　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]_补　     　　   (mod 2)
　　
　　当ｘ＋ｙ<0时，2 ＋ (ｘ＋ｙ) < 2，又因(ｘ＋ｙ)<0，
　　
　　故　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]_补　　　(mod 2)
　　
　　(3)ｘ<0，ｙ>0，则ｘ＋ｙ>0或 ｘ＋ｙ<0。
　　
　　这种情况和第2种情况一样，把ｘ和ｙ的位置对调即得证。

(4)ｘ<0，ｙ<0，则ｘ＋ｙ<0。
　　
　　相加两数都是负数，则其和也一定是负数。
　　
　　∵　　[ｘ]_补＝2＋ｘ，　　　[ｙ]_补＝2＋ｙ
　　
　　∴　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)
　　
　　上式右边分为“2”和(2＋ｘ＋ｙ)两部分.既然(ｘ＋ｙ)是负数，而其绝对值又小于1，那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的数，进位“2”必丢失.又因(ｘ＋ｙ)<0，所以
　　
　　[ｘ]_补＋[ｙ]_补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]_补　　　(mod 2)
　　
　　至此我们证明了，在模2意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码.这是补码加法的理论基础，其结论也适用于定点整数
　　
　　[例8] ｘ＝0.1001， ｙ＝0.0101，求ｘ＋ｙ。
　　
　　[解:]

　　[ｘ]_补＝0.1001，[ｙ]_补＝0.0101
　　
   
　　
　　所以　ｘ＋ｙ＝＋0.1110
　　
　　[例9] ｘ＝＋0.1011， ｙ＝－0.0101，求ｘ＋ｙ。
　　
　　[解:]
　　
　　[ｘ]补＝0.1011，[ｙ]补＝1.1011
　　
   
　　
　　所以　ｘ＋ｙ＝0.0110

　　由以上两例看到，补码加法的特点，一是符号位要作为数的一部分一起参加运算，二是要在模2的意义下相加，即超过2的进位要丢掉。