计算电感值以维持所需纹波电流的方法

升压拓扑结构在功率电子领域非常重要，但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在 dc - dc 升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本，并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下，计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法，并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法。

导通模式

升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流 （IIN） 的电感纹波电流峰峰值 （ΔIL） 的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数 （KRF）。电感越高，纹波电流和 KRF 就越低。

（1） ， 其中 （2）

在连续导通模式 （CCM） 中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零 （图1）。因此，当 ΔIL 小于 IIN 的2倍或 KRF 《2时，CCM 维持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当 KRF 》 2 且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时，会出现非连续导通模式 （DCM） （图2）。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通时间即称为 tidle。DCM 可提供更低的电感值，并避免输出二极管反向恢复损耗。

当 KRF = 2 时，转换器被认为处于临界导通模式 （CrCM） 或边界导通模式 （BCM）。在这种模式下，电感电流在周期结束时达到零，正如 MOSFET 会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压 （ VIN）的应用，固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定 VIN 范围内，以所需要的单一导通模式 （CCM 或 DCM） 工作。随着负载减少，CCM 转换器最终将进入 DCM 工作。在给定 VIN 下，使导通模式发生变化的负载就是临界负载（ICRIT）。在给定 VIN 下，引发 CrCM / BCM 的电感值被称为临界电感（LCRIT），通常发生于最大负载的情况下。

纹波电流与 VIN

众所周知，当输入电压为输出电压 （VOUT） 的一半时，即占空比 （D） 为50％时 （图3），在连续导通模式下以固定输出电压工作的 DC－DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示，即设置纹波电流相对于 D 的导数 （切线的斜率） 等于零，并对 D 求解。简单起见，假定转换器能效为100％。

根据 （3）、 （4） 和 （5），

并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡 （6），

则 （7）。

将导数设置为零， （8）

我们就能得出 （9）。

CCM 工作

为了选择 CCM 升压转换器的电感值 （L），需要选择最高 KRF 值，确保整个输入电压范围内都能够以 CCM 工作，并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。然后计算得出最小电感值。KRF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于 CCM 可以高达2.0。如前所述，当 D = 0.5 时，出现纹波电流 ΔIL 最大值。那么，多少占空比的情况下会出现 KRF 最大值呢？我们可以通过派生方法来求得。

假设 η = 100%， 则 （10），

然后将（2）、（6）、（7） 和 （10） 代入（1） ，得出：

（11）

（12）。

对 D 求解，可得 （13）。

D = 1 这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的 （对于升压转换器，占空比必须小于1.0）。因此，当 D =⅓ 或 VIN = ⅔VOUT 时的纹波因数 KRF 最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值 LMIN、LCRIT 和 ICRIT。

对于 CCM 工作，最小电感值 （LMIN）应在最接近 ⅔ VOUT 的实际工作输入电压 （VIN（CCM）） 下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，VIN（CCM） 可能出现在最小 VIN、最大 VIN、或其间的某个位置。解方程 （5） 求 L，并根据 VIN（CCM） 下的 KRF 重新计算，可得出

（14），其中 VIN（CCM） 为最接近⅔VOUT 的实际工作 VIN。

对于临界电感与 VIN 和 IOUT 的变化，KRF = 2，可得出

（15）。

在给定 VIN 和 L 值的条件下，当 KRF = 2时，即出现临界负载 （ICRIT）：

（16）

DCM 工作

如图5所示，在一定工作 VIN 和输出电流 （IOUT） 下的电感值小于 LCRIT 时，DCM 模式工作保持不变。对于 DCM 转换器，可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为 DCM 工作。tidle 最小值通常为开关周期的3％-5％，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采用 tidle 最小值来计算最大电感值 （LMAX）。LMAX 必须低于 VIN 范围内的最低 LCRIT。对于给定的 VIN，电感值等于 LCRIT （tidle= 0） 时引发 CrCM。

为计算所选最小空闲时间 （tidle（min）） 的 LMAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 tON（max） （所允许的 MOSFET 导通时间最大值） 与 VIN 的函数，其中 tdis 为电感放电时间。

（17），其中

（18）

可得出

（19）。

平均 （直流） 电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列 （17），可得出 tdis 相对于 tON 的函数。简单起见，我们将再次假设 PIN = POUT。

（20） ，其中 （21）。

将方程 （3）、（5）、（10）、（19） 和 （21） 代入 （20），求得 VIN （DCM） 下的 L

（22）。

LMAX 遵循类似于 LCRIT 的曲线，且同在 VIN = ⅔VOUT 时达到峰值。为确保最小 tidle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压 （VIN （DCM）） 下的最低 LMAX 值。根据应用的实际输入电压范围，VIN（DCM） 将等于最小或最大工作 VIN。若整体输入电压范围高于或低于 ⅔ VOUT（含⅔ VOUT），则 VIN（DCM） 是距 ⅔ VOUT 最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ⅔ VOUT，则在最小和最大 VIN 处计算电感，并选择较低 （最差情况下） 的电感值。或者，以图表方式对 VIN 进行评估，以确定最差情况。

输入电压模式边界

当升压转换器的输出电流小于 ICRIT 与 VIN 的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界，即 IOUT 大于 ICRIT 时，则将引发 CCM 工作。而 DCM 工作则发生于两个 VIN 的模式边界之间，即 IOUT 小于 ICRIT 时。要想以图表方式呈现 VIN 下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载 （使用所选电感器） 与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在 X 轴上找到与两条曲线相交的两个 VIN 值 （图6）。

要想以代数方式呈现 VIN 的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：

（23）。

这可以重写为一个三次方程，KCM 可通过常数计算得出

（24） 其中

（25）。

这里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 ［1］ ［2］。在此情况下，x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 VMB。

我们知道

（26）、

（27）、 以及

（28），

（29）。

由于升压转换器的物理限制，任何 VMB ≤ 0或VMB 》 VOUT 的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 VIN 的有效值。

模式边界 – 设计示例

我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器：

VOUT = 12 V

IOUT = 1 A

L = 6 μH

FSW = 100 kHz

首先，通过 （25） 和 （28） 计算得出 KCM 和 θ：

.

将 VOUT 和计算所得的 θ 值代入 （29），得出模式边界处的 VIN 值：

.

忽略伪解 （-3.36 V），我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。

结论

电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。

责任编辑：haq