嵌入式设计应用
采用表格法化简逻辑函数技术
1、概述
在设计逻辑电路图时,由真值表直接得到的函数往往比较复杂。代数法和卡诺图法等方法对于变量数目较多的逻辑函数则效果不佳,本文介绍一种可以化简复杂逻辑函数的方法──表格法,该方法可以对变量数目较多的逻辑函数也可以进行化简。
2、原理
在介绍化减法之前,先说明三个概念:
蕴涵项──在函数的任何积之和式中,每个乘积项称为该函数的蕴涵项。对应于卡诺图中的任一标1单元(最小项)以及2m个相邻单元所形成的圈都是函数的蕴涵项。
素项──若函数的一个蕴涵项不是该函数中其它蕴涵项的一个子集,则此蕴涵项称为素蕴涵项,简称素项。
实质素项──若函数的一个素项所包含的某一最小项,不包括在该函数的其它任何素项中则此素项称为实质素蕴涵项,简称实质素项。
列表化简法的基本原理是利用逻辑函数的最小项,通过对相邻最小项的合并,消去多余变量因子,获得逻辑函数的最简式的。列表化简法的思路是先找出给定函数F的全部素项,然后找出其中的实质素项;若实质素项不能覆盖F的所有最小项,则进一步找出所需素项,以构成F的最简素项集。
下面用列表化简法将下列函数化简为最简与或表达式。
F(A,B,C,D)=Σ(0,3,4,5,6,7,8,10,11)
3、建立素项表
首先,找出给定函数的全部素项。
(1)先将每个最小项所对应的二进制数按其“1”的个数分组得表1;
表1 最小项
组号 |
项号 |
二进制数 |
0 |
0 |
0000 |
1 |
4 8 |
0100 1000 |
2 |
3 5 6 10 |
0011 0101 0110 1010 |
3 |
7 11 |
0111 1011 |
(2)将表1中的相邻两个组之间二进制数进行比较、合并得到一次化简结果,称为一次乘积项,其项号记为i(j-i),其中i为最小项中的小项号,j为最小项中的大项号,得表2;
表2 一次乘积项
组号 |
项号 |
二进制数 |
0 |
a0(4) b0(8) |
0-00 -000 |
1 |
4(1) 4(2) c8(2) |
010- 01-0 10-0 |
2 |
d3(4) e3(8) 5(2) 6(1) f10(1) |
0-11 -011 01-1 011- 101- |
(3)再将表2中的相邻两组内的二进制数进行比较、合并、便得到第二次化简结果,称为二次乘积项,其项号记为i(n,m),其中i为两个一次乘积项中的小项号,n为原最小项的项号差,m为一次乘积项的项号差,得表3;
表3 二次乘积项
组号 |
项号 |
二进制数 |
1 |
g4(1,2) 4(2,1) |
01-- 01-- |
不能与其它一次乘积项合并的一次乘积项是素项,分别以a,b,c,d,e,f记之,不能合并的二次乘积项也是素项,以g记之。
4、实质素项
建立实质素项产生表,找出实质素项。
先用×标出每个素项覆盖最小项的情况,再找出实质最小项5、6,在×上标括号以示区别,可找出对应实质素项g,在其前标*,最后一行用“V”标出实质素项覆盖最小项的情况,可看出还有最小项0、3、8、10、11未被覆盖。如表4所示。
表4实质素项产生式
最小项 素项 |
0 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
a0(4) |
X |
X |
|||||||
b0(8) |
X |
X |
|||||||
c8(2) |
X |
X |
|||||||
d3(4) |
X |
X |
|||||||
e3(8) |
X |
X | |||||||
f10(1) |
X |
X | |||||||
*g4(1,2) |
X |
X |
X |
X |
|||||
覆盖情况 |
V |
V |
V |
V |
5、素项产生式
第三步:建立所需素项产生表,找出所需素项,所需素项集应覆盖所有未被实质素项覆盖的最小项,得表5。再用行列消去法来找,选优势行b0(8),e3(8),划去劣势行a0(4)及d3(4)得表6,再选最小项为0、3的劣势列,划去最小项为8,11的优势列,得表7。找出新的实质素项b,e,取该两项作为所需素项后,尚有最小项10未被覆盖,可选取c或f求得所需素项集为(b,e,c)或(b,e,f),
表5
最小项 素项 |
0 |
3 |
8 |
10 |
11 |
a0(4) |
X |
||||
b0(8) |
X |
X |
|||
c8(2) |
X |
X |
|||
d3(4) |
X |
||||
e3(8) |
X |
X | |||
f10(1) |
X |
X |
表6
最小项 素项 |
0 |
3 |
8 |
10 |
11 |
b0(8) |
X |
X |
|||
c8(2) |
X |
X |
|||
e3(8) |
X |
X | |||
f10(1) |
X |
X |
表7
最小项 素项 |
0 |
3 |
10 |
**b0(8) |
(X) |
||
c8(2) |
X | ||
**e3(8) |
(X) |
||
f10(1) |
X |
得F=g+b+c+e=AB+BCD+ABD+BCD
或F=g+b+e+f=AB+BCD+BCD+ABC
6、结论
通过上面介绍可以看出,逻辑化简能否以最快的速度进行,从而得到最简的逻辑表达式,与化简者的经验和对公式、方法掌握与运用的熟练程度有密切关系;而列表化简法思路清晰、准确,有规律可循,可得到多种可能答案,但化简过程比较繁琐,适宜于用微机处理并实现。
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