补码解释及运算

补码(two's complement)

　　1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。

　　主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补

　　码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

　　2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

　　求给定数值的补码表示分以下两种情况：

（1）正数的补码

　　与原码相同。

　　【例1】+9的补码是00001001。

（2）负数的补码

　　符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。

　　【例2】求-7的补码。

　　因为给定数是负数，则符号位为“1”。

　　后七位：+7的原码（0000111）→按位取反（1111000）→加1（1111001）

　　所以-7的补码是11111001。

　　已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：

　　（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。

　　（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

　　另一种方法求负数的补码如下：

　　例如：求-15的补码

　　第一步：+15：00001111

　　第二步：逐位取反（1变成0，0变成1），然后在末尾加1。

　　11110001

　　再举一个例子验证下：求-64的补码

　　+64：01000000

　　11000000

　　【例3】已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。

　　因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。

　　其余七位1111001取反后为0000110；

　　再加1，所以是10000111。

　　在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”

　　的概念：

　　“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范

　　围，即都存在一个“模”。例如：

　　时钟的计量范围是0～11，模=12。

　　表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的

　　余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

　　例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

　　一种是倒拨4小时，即：10-4=6

　　另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

　　在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

　　对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特

　　性。共同的特点是两者相加等于模。

　　对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再

　　加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的

　　模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以

　　了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

　　另外两个概念

　　一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码

　　而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。

(3).补码的绝对值（称为真值）

　　【例4】-65的补码是10111111

　　若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。

　　事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。

　　若要得到一个负二进制数的绝对值（称为真值），只要各位（包括符号位）取反，再加1，就得到真值。

　　如：二进制值：10111111（-65的补码）

　　各位取反：01000000

　　加1：01000001（+65的补码）

 

代数加减运算

1、补码加法

　　[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

　　【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补

　　[X]补=00110011 [Y]补=11010111

　　[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010

　　注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是

　　100001010，而是00001010。

2、补码减法

　　[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

　　其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：所有位（包括符号位）按位取反；然后整个数加1。

　　【例6】1+（-1） [十进制]

　　1的原码00000001 转换成补码：00000001

　　-1的原码10000001 转换成补码：11111111

　　1+（-1）=0

　　00000001+11111111=00000000

　　00000000转换成十进制为0

　　0=0所以运算正确。

3、补码乘法

　　设被乘数【X】补=X0.X1X2……Xn-1，乘数【Y】补=Y0.Y1Y2……Yn-1,

　　【X*Y】补=【X】补×【Y】补，即乘数（被乘数）相乘的补码等于补码的相乘。

 

补码的代数解释

　　任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

　　这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)

　　这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。

　　不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。

　　注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。

　　C语言中，就是用补码进行存储和运算的。