CORDIC理论分析

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  1、CORDIC 理论

  1.1、 坐标旋转数字计算机CORDIC

  坐标旋转数字计算机CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer)算法,通过移位和加减运算,能递归计算常用函数值,如Sin, Cos,Sinh,Cosh等函数,由J. Volder于1959年提出 ,首先用于导航系统,使得矢量的旋转和定向运算不需要做查三角函数表、乘法、开方及反三角函数等复杂运算。J. Walther在1974年用它研究了一种能计算出多种超越函数的统一算法 。

  1.2、CORDIC原理

  如图所示,初始向量(X(0),Y(0))旋转θ角度之后得到向量(X1,Y1),此向量有如下关系:

  X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ)=cos(θ)(X0-Y0*tan(θ))

  Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)=cos(θ)(Y0+X0*tan(θ))

  假设初始向量经过N次旋转之后得到新向量,且每次旋转角度δ都是正切值为2的倍数,则第i次旋转角度为δ-arctan(2^(-i)),即cosδ=(1/(1+2^(-2i)))^0.5。

  容易得到角度θ≈∑S(i)●δ(i),其中S(i)=1或-1,表示旋转角度的方向,

  第i步旋转可以表示为:

  X(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i))

  Y(i+1)=((1/(1+2^(-2i)))^0.5)●(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i))

  其中(1/(1+2^(-2i)))^0.5)称为校模因子,当旋转次数一定时,趋于一个常数,Π(1/(1+2^(-2i)))^0.5)≈0.6073

  这样,算法每一步就可以简化为:

  X(i+1)=(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i))

  Y(i+1)=(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i))

  从而可以看出,对于移动的角度θ,现在只需要硬件加减法器和移位器就可以算出结果。引入Z,表示i次旋转后相位累加的部分和,则:

  Z(i+1)=Z(i)-S(i)arctan(2^(-i))

  经过n次旋转之后,Z→0,即与目标角重合,即:

  X(n)=X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ)

  Y(n)=Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)

  1.3、三角函数的计算

  以sin/cos计算为例,可利用正/余弦的和角公式递归进行:

  cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) = cos(a) [cos(b) – tan(a)sin(b)]

  sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = cos(a) [tan(a)cos(b) +sin(b)]

  取a=arctan(2^-k), 即tan(a)=2^-k, 则cos(b) – tan(a)sin(b) 可通过移位和减法来实现。

  如果角度z可以表示为z = s0 arctan(2^0) + s1 arctan(2^-1) + ... + sn arctan(2^-n), 其 中s0, s1, ..., sn取+1或-1(+1可以理解为逆时针转角,即加上一个角度; -1则相反) ,那么角度z的sin/cos计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。注意到cos(sk arctan(2^-k))=cos(arctan(2^-k)) 与转角方向无关。此外,z应取第一项限角度(收敛域),对於其他项限角度,可由其第一项限对应角度变换得到。

  相类似地,sinh/cosh的计算利用以下公式:

  cosh(a+b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b) = cosh(a) [cosh(b) + tanh(a)sinh(b)]

  sinh(a+b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b) = cosh(a) [tanh(a)cosh(b) + sinh(b)]

  取a=arctanh(2^-k), 即tanh(a)=2^-k, 则cosh(b) + tanh(a)sinh(b) 可通过移位和减法来实现。如果参数z可以表示为z = s1 arctanh(2^-1) + s2 arctanh(2^-2) + ... + sn arctanh(2^-n), 其 中s1, s2, ..., sn取+1或-1 ,那么z的sinh/cosh计算可以通过一系列的移位和加减运算来实现。

  z应取[-ln2, ln2]范围内的值,否则应先预处理 z = z’– pln2, 求得cosh(z’)/sinh(z’)的值,则

  cosh(z) = cosh(z’)cosh(pln2) + sinh(z’)sinh(pln2) = ½[cosh(z’) + sinh(z’)]2^p + ½[cosh(z’) – sinh(z’)]2^-p

  sinh(z) = sinh(z’)cosh(pln2) + cosh(z’)sinh(pln2) = ½[cosh(z’) + sinh(z’)]2^p + ½[sinh(z’) – cosh(z’)]2^-p 。

  sin/cos和sinh/cosh的计算是CORDIC算法的两个特例,CORDIC算法可描述如下:

  给定初始值x(0), y(0), z(0),

  x(k+1) = x(k) – ms(k)y(k)2^-q(m,k), y(k+1) = y(k) + s(k)x(k) 2^-q(m,k), z(k+1) = z(k) – s(k)d(k),

  其中m表示模式,q(m,k) 为移位序列,s(k) 取+1或-1表示旋转方向,d(k) 为递进角度。

  1.4、CORDIC的MATLAB 运算

  以cos(a)/sin(a)计算为例,m = 1, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = a, s(k) = sign(z(k)),移位序列q(1,k): 0, 1, 2, ..., 递进角度为d(k)=arctan(2^-q(1,k)) 。

  下面是实现的Matlab程序:

  z = a;

  x = 0.6072529350; % scaled cos(0)

  y = 0; % sin(0)

  for i = 1:K

  signZ = sign(z); % s(k) for rotation direction

  xNew = x - signZ*y*2^(-(i-1));

  y = signZ*x*2^(-(i-1)) + y;

  x = xNew;

  z = z - signZ*atan(2^(-(i-1))); % atan(2^-(i-1)) is included in a look-up table

  end

  x的初始值为cos(arctan(1)), cos(arctan(2^-1)), ..., cos(arctan(2^-K) 的连积值,收敛为0.6072529350。

  以cosh(a)/sinh(a)计算为例,m = -1, x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = a, s(k) = sign(z(k)),移位序列q(-1,k): 1, 2, 3, 4, 4, 5, ... (3n+1重复两次以保证收敛, 4, 13, 40, ...), 递进角度为d(k)=arctanh(2^-q(-1,k)) 。

  通过对初始值和旋转方向s(k) 的选择,模式m=0可以计算乘法和除法; 模式m=1可以计算sin/cos/arcsin/arccos/arctan; 模式m=-1可直接计算sinh/cosh/exp/arctanh/ln/sqrt, 间接计算arcsinh/arccosh,参见[1]。

 

  2、CORDIC的现实意义

  由于具有频率精度高、转换时间短、频谱纯度高以及频率相位易编程等特点, 数控振荡器(NCO)被广泛应用于软件无线电数字上、下变频以及各种频率和相位数字调制解调系统中。NCO传统的实现方法主要有查表法、多项式展开法或近似法,但这些方法在速度、精度、资源方面难以兼顾。而采用CORDIC算法来实现超函数时,则无需使用乘法器,它只需要一个最小的查找表(LUT),利用简单的移位和相加运算,即可产生高精度的正余弦波形,尤其适合于FPGA的实现。

  数字控制振荡器(NCO,numerical controlled oscillator)是软件无线电、直接数据频率合成器(DDS,Direct digital synthesizer)、快速傅立叶变换(FFT,Fast Fourier Transform)等的重要组成部分,同时也是决定其性能的主要因素之一,随着芯片集成度的提高、在信号处理、数字通信领域、调制解调、变频调速、制导控制、电力电子等方面得到越来越广泛的应用。

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