如何推导电容式MEMS加速度计中使用的传递函数

本文将使用经典力学的概念来推导质量-弹簧-阻尼系统的传递函数。

传递函数使我们能够描述检验质量如何响应外部加速度而移动。在解释加速度计的不同参数（例如传感器线性工作范围和带宽规范）时，将在本系列的后续文章中使用派生的传递函数。

然而，在尝试推导传感器传递函数之前，让我们简要介绍一下微机电系统 （MEMS） 技术，它使当今的小型、低成本惯性传感器成为可能。

MEMS 加速度计：使用质量弹簧阻尼结构测量加速度

用于感测加速度的质量-弹簧-阻尼器结构如图 1 所示。

MEMS 技术使我们能够在同一个硅芯片上实现该机械系统的一个非常小的版本以及所需的信号调理电子设备，从而获得完整的传感解决方案。

图 1. 质量-弹簧-阻尼器结构。

MEMS 技术借鉴了微电子行业的基于光刻技术的微制造技术，并将它们与其他专业制造技术相结合，从而能够在硅芯片上创建可移动部件。

微制造技术的进步帮助实现了当今小型、低成本的微机械加速度计，图 2 中显示了一个示例。

图 2. CMOS MEMS 加速度计的扫描电子显微照片 （SEM）。图片由K. Zhang提供

在上一篇文章中，我们简要提到了阻尼器在加速度计的运行中起着至关重要的作用。现在是在尝试推导质量-弹簧-阻尼器系统的传递函数之前更熟悉系统的这一重要部分的好时机。

MEMS加速度计中的阻尼机制

阻尼器模拟耗散力，这些耗散力会降低质量-弹簧-阻尼器系统的机械能并减慢检测质量的运动。

MEMS 加速度计中的主要阻尼机制之一是运动质量与周围空气分子之间发生的内摩擦。事实上，可以在极低的压力下封装基于 MEMS 的加速度计，以减少空气阻尼的影响。然而，一般来说，空气阻尼是 MEMS 加速度计能量损失的主要来源。

其他常见的阻尼源是结构阻尼和热阻尼。

结构阻尼考虑了由MEMS器件中使用的组件结构引起的能量损失。

热阻尼对应于MEMS结构的应力-应变关系随温度变化的偏差。阻尼器施加在质量块上的总减速力通常被建模为与质量块的速度成比例的力。

该力作用于与质量运动相反的方向，由下式给出：

其中 b 表示阻尼系数，v 表示质量块的速度。

请注意，当物体非常小时，空气阻力与物体的速度成正比，微加工结构就是这种情况。

一般来说，空气阻力与 物体的速度有着复杂的关系。例如，一个大型物体，例如在空中移动的跳伞运动员，会受到与物体速度的平方成正比的阻力。

阻尼效应：想要的还是令人讨厌的？

由于阻尼源于耗散力，因此它可能看起来是一种应避免的麻烦。事实上，许多 MEMS 加速度计被设计成只有少量的阻尼（以降低系统的噪声）。

但需要注意的是，理想的没有阻尼的质量弹簧系统实际上是一个振荡器，不能用作加速度计。

如果我们将“理想”弹簧质量系统的质量从平衡中移出然后释放它，即使没有对系统施加外部加速度，质量也会永远来回移动。这就是为什么对于加速度计，我们需要在我们的弹簧质量系统中引入至少少量的阻尼。

使用牛顿运动定律证明质量位移

假设，如图 3 所示，外力施加到传感器框架上。

图 3. 对外力作出反应的质量-弹簧-阻尼结构传感器框架。

为了根据施加的加速度计算质量块位移，我们使用牛顿第二运动定律。正如您可能知道的那样，该定律指出，由合力产生的物体的加速度与合力的大小成正比，与物体的质量成反比。

这由以下熟悉的等式表示：

其中 F 是施加在物体上的净力，m 是物体的质量，a 表示加速度。

为了将这个方程正确地应用到我们的系统中，这里应该注意一个微妙的点。牛顿第二运动定律仅适用于惯性坐标系，即不加速的坐标系。

图 3 描绘了我们的加速度计的两个不同坐标系。橙色坐标系对应于解决物理问题时假定为惯性的地球参考系。

然而，品红色坐标系表示固定到传感器框架的参考框架。

该坐标系是非惯性的，因为当外力施加到传感器时它会加速。因此，要找到质量块的运动方程，我们应该使用惯性参考系（橙色坐标系）。

什么力量作用于证明质量？

图 4.通过 电容感应测量质量块位移的设置。有关更多信息，请查看该系列的上一篇文章。

为了用质量块位移来表示公式 4，我们需要使用图 3 中洋红色坐标系所示的移动参考系。我们使用小写字母 x 和 y 表示该坐标系。

例如，如果传感器帧加速度突然从零变为有限值（阶跃输入），则系统的输出将接近其最终值，并具有由系统参数确定的时间响应特性。

图 5 显示了改变系统参数如何改变输出的振铃和稳定时间。在我们的讨论中，输出是验证质量位移。

图 5.二阶系统的阶跃响应会根据系统参数的值发生显着变化。图片由麻省理工学院的 David L. Trumper 提供