关于零点和极点

不知不觉，环路内容已经写了7节了，以理论分析为主，下面来说说兄弟们都很关心的内容——零点和极点。

前面几节内容，我们已经将传递函数的来源，推导过程说明白了。有了传递函数，我们就能够画出波特图，就能够分析系统到底稳不稳定。

但是问题来了，假如我们得到的波特图表明这个系统是不稳定的，那么该如何调整呢？该修改什么器件呢？或者说一个原本稳定的系统，但是我们想修改其中某个元件，会不会造成系统不稳定？总不至于每次修改一个器件，然后画出传递函数看看长什么样子，不行就接着改？这种鸟枪法总归不好。

鸟枪法不行，自然有更好的法子，那就是找到一些特殊点进行分析。这些特殊点，就是零点和极点，零点和极点可以帮助我们调整电路。

关于零点和极点，结合我自己的经验，我觉得以下几个问题是值得思考一下的。

1、传递函数中，让分母为0的频率点叫极点，既然分母为0，那算出来的值不是无穷大吗？增益无穷大？这也能出现？

2、老是看到说增加一个电容，就增加了一个极点，增加一个电阻，就增加了一个零点，这到底是怎么回事？其中的道理又是为什么？

3、拿到具体的电路，那个零极点如何能直接看出来呢？

这一节就来看看上面这几个问题吧。

零点和极点的定义

先来复习一下概念，什么是零点和极点，一般教材上面给出的定义大致是这样的：

极点

上面这个很好理解，清晰明了，但是一个大坑也就随之而来了。如果从数学公式的角度看，这定义没啥好说的，该咋样咋样。

但是一放到电路里面去，就尴尬了，H(s)的物理意义不是输出除以输入吗？

那极点的意思不就是使输出为无穷大的点，既然输出无穷大了，那么系统肯定是不稳定的，那么我们常说的极点又到底是什么？

比如下面是从网上找的别人写的零点和极点的物理意义，难道自己写的时候不懵吗？

那怎么理解我上面这个问题呢？

结合实际的情况，系统的传递函数算出来的根多是负数，而现实世界中是没有负频率的，貌似都是直接把负号去掉之后称为极点。

比如下面的低通滤波器的传递函数的极点：

假如R=1Khz，C=1uF，那么极点是s=-1000，但是我们通常说极点是1000，理由貌似是自然界中没有负频率，所以对s求了个模，频率w=|s|=1000，我们把这个求模后的值也还是叫极点，并没有重新取名字。

这个取了模之后的极点再代入原式子H(s)中，就不能够使H(s)等于无穷大了，当然了，也不能是无穷大，因为无穷大意味着系统不稳定。我们研究的电路系统一般是稳定的，所以基本上极点都是负的，或者说在复平面的左半平面。

不过，我们所有的系统的极点都是负的吗？都在左半平面吗？

我想也不是的，这让我想到了皮尔斯晶体振荡器，它输入为0，但是能够输出一个固定的频率的信号，即晶振的输出嘛，我猜它应该是有极点在右半平面的。因为晶振不就是要自己振荡起来吗？当然，我的猜测也可能是错误的，感兴趣的兄弟可以研究研究。

总之吧，对于具体的电路，我们常说的极点，已经不再是严格抠定义得到的极点了，而是取了绝对值之后的，其对应信号的频率都是正的，代入系统就不再能使输出无穷大。

极点就说这么多吧，来看看零点

零点

相对于极点一般都是负的，根据系统的不同，零点是有负的，也有正的，像boost，Buck-boost，Flyback都是有右半平面零点，也就是分子N(s)=0有正的根。

零点和极点定义的问题就先说这么多吧，总的来说，我们求解的零点和极点的时候，可以假设下频率可正可负的就好。

下面来看看，对于一个具体的电路，零点和极点都怎么快速的直接用眼睛“瞪”出来。

如何快速找到系统的零极点

功率级传递函数目前我是找不到快速的方法的，不过放大和补偿级的传递函数，我倒是能想出点道道。

下面是常见的三种补偿方式

如何快速找到零极点呢？

其实思路很简单，我们列出对应的传递函数就行了，上面三种结构，传递函数其实不就是放大器的增益表达式吗？

传递函数都是：H(s)=实线椭圆阻抗/虚线网络阻，我们根据定义求出对应的点就行了。不过这个方法有点麻烦，还得计算。

简单一点是这么想，零点就是让输出为0的点，极点就是让输出为无穷大的点（这时候考虑负频率，就是求的时候假定负频率是存在的），然后我们去找对应的点就行了。

I型补偿

要想得到零点，那么我们就找使输出等于0的频率点，显然，要想输出等于0，必须C1的阻抗为0，电容的阻抗是1/sC，那么得频率为无穷大才行，一般我们不考虑无穷大的频率，所以说I型补偿没有零点。

要想得到极点，那么我们需要找使输出为无穷大的点，显然，输出无穷大，只需要电容C1的阻抗是无穷大就行，显然，频率为0时，输出阻抗1/sC为无穷大，也就是说0是I型补偿的极点。

所以，对于I型补偿，没有零点，有一个极点

II型 补偿

同样的，要想得到零点，那么我们就找使输出等于0的频率点，显然，要想输出等于0，必须下面这一坨的阻抗为0。

这一坨的结构是R2和C1串联后，再和C2并联。要想上面那一坨整体阻抗为0，要么C2的阻抗为0，要么R2和C1串联后的阻抗为0。

因为不考虑无穷大频率，所以C2的阻抗不可能为0。R2和C1串联后的阻抗是可以为0的，即R2+1/sC1=0，解出来就是s=-1/(R2*C1)，我们取绝对值换算成频率，即有一个零点w=1/(2π*R2*C1)

同样的道理，极点就是下面一坨整体的阻抗为无穷大时的点

因为上面结构是并联的关系，首先，可以很容易观察到，当频率为0的时候，两个并联的支路阻抗都是无穷大，那么并联之后自然还是无穷大，即，0是这个补偿器的一个极点。

除此之外，R2和C1串联之后，再与C2并联，也会在其它的频率点等于无穷大，有一个简单方法，只需要把R2和C1和C2的阻抗相加等于0，算出来的点就是极点，原理是什么呢？

所以，我们把R2和C1，C2阻抗加起来，如果阻抗等于0，那么整体并联的阻抗就是无穷大的了，即R2+1/sC1+1/sC=0，那么最终极点就是：s=-(1/C1+1/C2)/R2。

取绝对值换算成频率：w=(1/C1+1/C2)/(2π*R2)

所以，对于II型补偿，有两个极点，一个零点。

III型补偿

由前面可知，II型补偿的零极点都是从反馈网络得来的，我们观察III型补偿，它的反馈网络和II型补偿一模一样。因此，III型补偿反馈网络产生的零极点，同II型补偿是一模一样的，也有两个极点和一个零点，就不再赘述了。

除了反馈网络，III型补偿在同相输入的电阻上面并联了电阻和电容，那么这个网络是否产生零极点呢？

自然是会的，不然III型补偿不就没用了吗？方法其实和前面差不多。

先看零点，零点是使输出为0的点，要想输出为0，那么虚线框的总阻抗要为无穷大。并联之后阻抗要想等于无穷大，那么R1，R3，C3三者加起来的阻抗要等于0，原理还是下面这个

即：R1+R3+1/sC3=0，即s=-1/((R1+R3)*C3)，取绝对值然后换算成频率：w=1/(2π*(R1+R3)*C3)

再看极点，极点是使输出为无穷大的点，要想输出为无穷大，那么虚线框的总阻抗为0。易知，当R3和C3串联的阻抗为0，那么虚线框的总阻抗就为0。R3+1/sC3=0，算s=-1/(R3*C3)，取绝对值之后换算成频率：w=1/(2π*R3*C3)，即该频率点就是一个极点。

综上所述，III型补偿有3个极点，2个零点。

上面三种补偿汇总如下：

以上是我觉得，写出零极点最快的方式了，基本不用动笔，写得有点长，显得有点复杂。不过要是知道里面的道理，应该还是挺方便的。

小结

本节内容就写到这里了，主要针对常见的几种补偿，看怎么能做到“看着图把零极点看出来”。

以上纯属个人想法，不一定对，有问题可以留言交流。

审核编辑 ：李倩