有趣的算法题热热身：灯泡开关

 

计算机基础和算法是能否拿到一个好offer的关键因素，月底牛牛就忙完手上项目了，到时也会多分享相关内容，今天就先整一道LeetCode上有趣的算法题热热身：灯泡开关。  01故事起源

初始时有 n 个灯泡，均处于关闭状态。

 

对某个灯泡切换开关意味着：如果灯泡状态为关闭，那该灯泡就会被开启；而灯泡状态为开启，那该灯泡就会被关闭。

 

第 1 轮，每个灯泡切换一次开关。即打开所有的灯泡。

 

第 2 轮，每两个灯泡切换一次开关。即每两个灯泡关闭后一个。

 

第 3 轮，每三个灯泡切换一次开关。即位于第3、6、9···的灯泡切换开关。

 

第 i 轮，每 i 个灯泡切换一次开关。而第 n 轮，你只切换最后一个灯泡的开关。

 

找出 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

 

示例 1：

   输入：n = 6  输出：2

 

02问题分析

 

通过上面的图例，我们可以很清楚地看到，每一轮都会切换一批灯泡。关键是可能切换到之前已经切换过的灯泡，如果我们通过模拟来暴力解决，那么每一轮就要遍历一次，肯定超时。

 

那我们换种思路想想，这道题似乎更像一道有数学规律的题，这种类型在面试中也不少见。

 

不过我们不一定能马上找到规律，那也不要着急，就按部就班：用0表示off, 1表示on，先列出前10个灯泡的答案，看看其中有什么规律可循。

 

n=1：1

n=2：1 0

n=3：1 0 0

n=4：1 0 0 1

n=5：1 0 0 1 0

n=6：1 0 0 1 0 0

n=7：1 0 0 1 0 0 0

n=8：1 0 0 1 0 0 0 0

n=9：1 0 0 1 0 0 0 0 1

n=10: 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

 

03发现规律

 

我们仔细看看上面的数据就会发现，最后亮灯的位置都在第1、4、9位上，这些位置恰好都是某个因子的平方，比如4，就是2的平方，不知道大家还记得不，在数学上这种数字就叫做完全平方数。

 

那我们就可以大胆猜测：最后亮灯的位置，都是完全平方数。那么每多一个完全平方数，就多一个亮的灯泡。

 

当然，这只是一个猜测，我们可以用暴力法写一个程序，把前100个的情况打印出来，就能看出，是满足这个规律的。

 

都已经验证到100轮了，那么基本就是这个规律了。

 

所以这道题，其实就是寻找n以内有多少个完全平方数，具体做法是从数字1遍历到数字n，对每个数字判断是否是完全平方数，最差也是O(n)可以解决。

 04思考缘由

 

牛牛是个打破砂锅问到底的人，虽然通过规律，解决了问题，但是不搞清楚为什么，总是心里痒痒的。

 

我们从上面的规律，可以猜测灯泡亮的数量一定和平方根的特性有关系的。

 

我们先看看一些非完全平方数：

 

8的因子: 1 2 4 8；

12的因子：1 2 3 4 6 12；

 

这些因子一定是偶数个，为什么呢？

 

因为一个因子，一定是和另一个因子，配合起来，才能得到这个数字。

 

回到我们的灯泡，比如我们拿n=3的情况来说，第一轮打开了第三轮的灯泡，第三轮就会给它关掉，因为1、3是3的成对因子。

 

但如果是n=4的情况，1、4虽然也会成对抵消，但是第二轮的操作却无法抵消，因为2的成对因子是2，不会再重复出现。

 

从这里我们就可以看出来，每增加一个完全平方数，就会多一个不会被抵消掉的因子出现，所以个数也就增加了1。

 

05更进一步

 

一般的算法题，O(n)就是性能的极致，但这是一道数学规律题，那我们就得多想想还有没有更快的办法。

 

要找到有多少个完全平方数，是否一定要遍历完1-n？

 

稍微思考下就可以发现并不是，拿9举个：3是9的完全平方因子，在3以上的数字一定不能构成完全平方因子，因为开平方一定超过最大数字9了。如此一来，我们只用考虑3之前的。

 

不难发现，3之前的1、2是必然满足完全平方因子的，因为它们做平方，一定小于3的平方，也就一定在数据范围内。

 

基于上面的分析，我们可以看出，灯泡亮的个数，就是n的平方根向下取整个，代码就一行：

•  

return (int)Math.sqrt(n)

 

06灯泡复盘其实在面试中，遇到这种数学模型的题，是很容易翻车的。如果只是干想，在面试紧张的环境下，很可能大脑一片空白。  不过，这种题的套路也是有的，基本都可以用先实验，再猜测，再论证的方式去解决，这个不仅仅是面试套路，也是一种很优秀的做事情的模式。    

审核编辑 ：李倩