01 故事起源
一个数n,在小于等于n的正整数[1,n]中,与n互素的数有多少个呢?
(注:x与n互素,说明x与n的最大公约数为1)
02 分析
最直观的方法当然就是直接枚举所有小于n的数,再通过求最大公约数判断即可。
但当n很大的时候,这个方法就不优了。可能有同学已经发现了,这个不就是欧拉函数的定义吗,所以今天我们从数学上来分析如何快速求解。
03 欧拉函数
欧拉函数定义如下:
欧拉函数具有几个优秀的性质,先介绍几个常用的数学符号,便于描述。
3.1 性质1
当n为素数时,很明显phi(n)=n-1,因为所有小于n的数都与n互素。
当n为某个素数p的幂次时,即n=p^k,则与n不互素的一定为p的倍数。 [1,n]中p的倍数一共有p^(k-1)个,所以互素的即为总数减去不互素的个数。
3. 性质2
欧拉函数是一个积性函数,当整数m,n互素时,phi(mn)=phi(m)*phi(n)。
这个性质的证明需要用到同余和集合相关的定理,有点复杂,以后写同余相关的知识再专门分享如何证明,现在就先记住这个性质就行了。
04 计算
有了这2个性质就可以推导出欧拉乘积公式。
接下来就只需要考虑如何对n进行质因素分解。 最简单的方式可以直接枚举,先找到最小的质因子p1,然后除去所有p1因子,再对剩余的数继续分解。
05 代码实现
全部0条评论
快来发表一下你的评论吧 !