卡诺图如何化简

HDLBits 是一组小型电路设计习题集，使用 Verilog/SystemVerilog 硬件描述语言 (HDL) 练习数字硬件设计~

网址如下：

https://hdlbits.01xz.net/

关于HDLBits的Verilog实现可以查看下面专栏：

https://www.zhihu.com/column/c_1131528588117385216

缩略词索引：

SV:SystemVerilog

从今天开始新的一章-Circuits，包括基本逻辑电路、时序电路、组合电路等。

今天更新整个关于卡诺图部分，数电忘记的，可以先回顾一下。

卡诺图

简介

卡诺图（KM或K -map）是一种简化布尔代数表达式的方法。Maurice Karnaugh在 1953年为Edward W. Veitch 1952 Veitch 图做了改进，并介绍了新的Marquand 图，即我们现在熟知的卡诺图。

卡诺图利用人类的模式识别能力减少了对大量计算的需求，还允许快速识别和消除潜在的竞争条件。

所需的布尔结果从真值表转移到二维网格中，在卡诺图中，单元格按格雷码排序，每个单元格位置代表输入条件的一种组合。单元格也称为最小项，而每个单元格值代表布尔函数的相应输出值。识别出最佳的 1 或 0 组，它们表示原始真值表中逻辑的规范形式的项。这些术语可用于编写表示所需逻辑的最小布尔表达式。

示例

卡诺图用于简化布尔代数函数。例如，考虑以下真值表描述的布尔函数。

函数的真值表

序号	A	B	C	D	f(A,B,C,D)
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	0
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	0

以下是使用布尔变量A、B、C、D描述未简化布尔代数中相同函数的两种不同符号。

mi是要映射的最小项（即，在真值表中输出为 1 的行）。

mi是要映射的最大项（即，真值表中输出为 0 的行）

在上面的例子中，四个输入变量可以用 16 种不同的方式组合，所以真值表有 16 行，卡诺图有 16 个位置。因此，卡诺图以 4 × 4 的网格排列。

行和列索引（显示在卡诺图的顶部和左侧）以格雷码而不是二进制数字顺序排列。格雷码确保每对相邻单元之间只有一个变量发生变化。完整卡诺图的每个单元格都包含一个二进制数字，表示该输入组合的函数输出。

分组

在构建卡诺图之后，它被用来寻找布尔代数最简单的可能形式之一——规范形式——获取真值表中的信息。卡诺图中相邻的 1 代表简化表达式的机会。最终表达式的最小项是通过在地图中圈出 1 组来找到的。Minterm 组必须是矩形的，并且面积必须是 2 的幂（即 1、2、4、8...）。最小项矩形应尽可能大，不包含任何 0。组可以重叠以使每个组更大。下例中的最优分组用绿、红、蓝线标记，红、绿组重叠。红色组是一个 2×2 的正方形，绿色组是一个 4×1 的矩形，重叠区域用棕色表示。

单元格通常由描述单元格覆盖的输入的逻辑值的简写表示。例如，AD表示一个单元格覆盖了A和D为1的 2x2 区域，即上图中编号为 13、9、15、11 的单元格。另一方面，A D(非)表示A为真且D为假（即D(非)为真）的单元格。

网格是环形连接的，这意味着矩形组可以环绕边缘（见图）。最右边的单元格实际上与最左边的单元格“相邻”，因为相应的输入值仅相差一位；同样，最顶端的和最底端的也是如此。因此，A D(非)可以是一个有效术语——它在顶部包括单元格 12 和 8，并环绕到底部以包括单元格 10 和 14——就像B(非) D(非)一样，它包括四个角。

解决方案

函数 f(A, B, C, D) 的 K-map 显示为对应于最小项的彩色矩形。棕色区域是红色 2×2 正方形和绿色 4×1 矩形的重叠部分。f 的倒数的 K-map 显示为灰色矩形，对应于 maxterms。

一旦构建了卡诺图并且相邻的 1 通过矩形和方形框连接起来，就可以通过检查每个框内哪些变量保持相同来找到代数小项。

对于红色分组：

A是相同的，并且在整个框中都等于 1，因此它应该包含在红色最小项的代数表示中。

B不保持相同的状态（它从 1 变为 0），因此应该被排除在外。

C不变。它始终为 0，因此应包括其补码 NOT-C。因此，应包括C。

D发生变化，因此被排除在外。

因此，布尔乘积和表达式中的第一个最小项是A C(非)。

对于绿色分组，A和B保持相同的状态，而C和D改变。B为 0，必须先取反才能包含在内。因此，第二项是A B(非)。请注意，绿色分组与红色分组重叠是可以接受的。

同样，蓝色分组给出了术语BC D((非))。

将每一组的解组合起来：电路的最后的化简结果如下：

还有其他方式，就不展开描述了，可以自行学习。

Problem 72-Kmap1

题目说明

根据卡诺图来实现电路：

图片来自HDLBits

我们可以尝试最大项之积和最小项之和的形式来完成电路设计。

模块端口声明

 

module top_module(
    input a,
    input b,
    input c,
    output out  ); 

 

题目解析

按照下图方框化简：

得到：

f(a,b,c)=a+b+c=a'b'c'(摩根定理)

所以可以有两种方式解决。

 

module top_module(
    input logic a,
    input logic b,
    input logic c,
    output logic out  
    ); 
    
 assign out = a | b | c;
    
endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中的Ref是参考波形，Yours是你的代码生成的波形，网站会对比这两个波形，一旦这两者不匹配，仿真结果会变红。

这一题就结束了。

Problem 73-Kmap2

题目说明

还是根据卡诺图来设计电路，本题为4个变量。

图片来自HDLBits

在编写verilog之前，我们可先化简卡诺图。

模块端口声明

 

module top_module( 
    input a, b, cin,
    output cout, sum );

 

题目解析

根据下图先化简卡诺图得到最小和：

f(a,b,c,d) = a'd'+b'c'+ab'd+bcd

 

module top_module(
    input logic a,
    input logic b,
    input logic c,
    input logic d,
    output logic out  
    ); 

    assign out = ~a&~d | ~b&~c | a&~b&d | b&c&d ;
    
endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中的Ref是参考波形，Yours是你的代码生成的波形，网站会对比这两个波形，一旦这两者不匹配，仿真结果会变红。

这一题就结束了。

Problem 74-Kmap3

题目说明

根据卡诺图实现电路：

图片来自HDLBits

还是先化简卡诺图，其中D为don't care值。相当于X。可以一起圈。

模块端口声明

 

module top_module(
    input a,
    input b,
    input c,
    input d,
    output out  ); 

 

题目解析

可以这样圈，进行化简：

PS:

2^n个方格相邻的最小项，可以合并成1项，消去n个变量。

 

module top_module(
    input logic a,
    input logic b,
    input logic c,
    input logic d,
    output logic out  ); 

    assign out = a | ~b&c ;
endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中的Ref是参考波形，Yours是你的代码生成的波形，网站会对比这两个波形，一旦这两者不匹配，仿真结果会变红。

这一题就结束了。

Problem 75-Kmap4

题目说明

根据卡诺图实现电路：

图片来自HDLBits

模块端口声明

 

module top_module(
    input a,
    input b,
    input c,
    input d,
    output out  ); 

 

题目解析

这题没什么能化简的，就老老实实敲代码吧。

 

module top_module(
    input logic a,
    input logic b,
    input logic c,
    input logic d,
    output logic out  
    );
    
    assign out = ~a&b&~c&~d | a&~b&~c&~d | ~a&~b&~c&d | a&b&~c&d
                 | ~a&b&c&d | a&~b&c&d | ~a&~b&c&~d | a&b&c&~d ;

endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中的Ref是参考波形，Yours是你的代码生成的波形，网站会对比这两个波形，一旦这两者不匹配，仿真结果会变红。

这一题就结束了。

Problem 76-ece241_2013_q2

题目说明

一个4输入a, b, c, d和一输出的逻辑电路，当输入为2， 7或15时，输出为1， 当输入为0, 1, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 或 14 时，输出为0，当输入为3，8，11或12时输出为任意值。举例来说，7对应输入abcd为0，1，1，1.

注意： 该电路的SOP和POS必须均为化简后的最小值

模块端口声明

 

module top_module (
    input a,
    input b,
    input c,
    input d,
    output out_sop,
    output out_pos
);  

 

题目解析

直接根据题目做出答案比较难，所以我们需要先根据题目画出卡诺图：

SOP圈法就是圈1，如下：

POS圈法就是圈0，如下：

module top_module (
    input logic a,
    input logic b,
    input logic c,
    input logic d,
    output logic out_sop,
    output logic out_pos
); 

    assign out_sop = c&d | ~a&~b&c ;
    assign out_pos = c&(~a|b)&(~b|~c|d) ;
endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中无波形。

这一题就结束了。

Problem 77-m2014 q3

题目说明

还是根据卡诺图实现电路：

图片来自HDLBits

模块端口声明

 

module top_module (
    input [4:1] x, 
    output f );

 

题目解析

没什么难度，与其他没区别。

 

module top_module (
    input logic [4:1] x, 
    output logic f );

    assign f = (~x[1] & x[3]) | (x[1] & x[2] & ~x[3]);
endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中无波形。

这一题就结束了。

Problem 78-2012_q1g

题目说明

还是根据卡诺图画出电路：

图片来自HDLBits

模块端口声明

 

module top_module (
    input [4:1] x,
    output f
); 

 

题目解析

都是同一个道理。

 

module top_module (
    input logic [4:1] x,
    output logic f
); 

    assign f = ~x[2]&~x[4] | ~x[1]&x[3] | x[2]&x[3]&x[4] ;
endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中无波形。

这一题就结束了。

Problem 79-ece241_2014_q3

题目说明

根据题目给出的卡诺图，用一个4-1的多路选择器和尽可能多的2-1多路选择器来实现电路，不允许使用其他逻辑门，必须使用ab作为选择器的输入。

图片来自HDLBits

模块端口声明

 

module top_module (
    input c,
    input d,
    output [3:0] mux_in
); 

 

题目解析

开始题目比较“萌”，因为把东西结合起来了，所以一时难以下手。

 

这题如果从选择器入手就比较简单了，从图中看到，当ab为固定值，输出是由cd的输入决定。

接下来就是看卡诺图了，从卡诺图中：

当ab == 2'b00时，化简卡诺图，得到mux_in[0] = c+d=cd;

当ab == 2'b01时，化简卡诺图，得到mux_in[1] = 1'b0;

当ab == 2'b10时，化简卡诺图，得到mux_in[2] = d';

当ab == 2'b11时，化简卡诺图，得到mux_in[3] = cd;

此处需注意mux_in[3:0]， 一个高位低位的问题，不要搞反了。

 

module top_module (
    input logic c,
    input logic d,
    output logic [3:0] mux_in
); 


assign mux_in = {(c&d),(~d),1'b0, (c|d)};

endmodule

 

点击Submit，等待一会就能看到下图结果：

注意图中的Ref是参考波形，Yours是你的代码生成的波形，网站会对比这两个波形，一旦这两者不匹配，仿真结果会变红。

这一题就结束了。

总结

今天的几道题就结束了，对于理解卡诺图化简的人来说就比较简单了，没学过或者忘记的，可以去回顾一下相关知识。整体比较简单，没有复杂的代码，没有复杂的设计思路，主要在于卡诺图的理解。

最后我这边做题的代码也是个人理解使用，有错误欢迎大家批评指正，祝大家学习愉快~　　

      审核编辑：彭静