布辛涅斯克近似概述

 

导读：大家好，我是仿真秀专栏作者-极度喜欢上课（又叫小极老师），主要研究方向为CFD，发表COMSOL相关方向中文核心期刊论文1篇，授权发明专利7项。使用COMSOL软件4年，熟练运用微流体、两相流、流固耦合以及传热等模块。目前运营COMSOL相关的“b站账号-极度喜欢上课”，关注粉丝累计6000+。积累了一定的原创COMSOL案例，熟悉COMSOL初学者的需求。前不久，注册了仿真秀平台讲师，未来将在仿真秀平台持续创作COMOSOL流体传热原创内容，以下是正文。

一、布辛涅斯克近似概述

“布辛涅斯克（ Boussinesq）近似”通常被用于处理热浮力流的问题中，其中这里的热浮力流指“流体由于各部分温度分布不均匀而形成密度差，在重力的作用下产生浮升力，进而引起流体内部流动的现象。”

如果要向同学更清楚的介绍“布辛涅斯克近似”，本文还得从热浮力流的问题说起。不知道同学们对于“温度分布不均匀而形成密度差。”这个表述是怎么理解的？（大家可以先思考一下，因为下面所涉及的内容会带有一点点理论性。）

“温度分布不均匀而形成密度差。”这句话翻译成大白话就是“温度导致了流体的密度发生了变化。”在对流体问题进行数值求解的时候，考虑流体密度的变化其实是一项很艰巨的任务，而在COMSOL的描述中“密度发生变化”就意味着流体是可压缩的，如图1所示，以“层流”接口为例，用户可以根据需要将流体设置为“不可压缩”、“弱可压缩”或者“可压缩（Ma＜0.3）”三种情况，其中“弱可压缩”对比“可压缩（Ma＜0.3）”会将压力对密度的影响进行简化。（对于我们绝大多数同学其实只会用到“不可压缩”和“弱可压缩”两种，然后记住密度不发生变化就用“不可压缩”，密度发生变化就用“弱可压缩”。）

图1

根据上面的叙述各位同学应该就能知道，如果要考虑热浮力流那么就是需要用到可压缩的纳维-斯托克斯方程了，方程表达式如下：

其中表示与温度相关的密度（是一个变量），u是流体的速度，p是流体的压力，g是重力加速度，“”表征的就是流体所受到的热浮力。从方程中可以看出，是与方程强烈的耦合在了一起，如果发生了变化势必会让方程的求解变得更加困难，接连导致的可能是模型的求解速度变慢以及收敛性能变差。

为了解决因为密度的变化所导致的求解困难，“布辛涅斯克近似”就应运而生了。在密度变化不大又需要考虑热浮力流的时候，可以利用“布辛涅斯克近似”进行求解，包含了“布辛涅斯克近似”的不可压缩的纳维-斯托克斯方程的表达形式如方程（2）所示：

在不可压缩的纳维-斯托克斯方程中，由于速度散度等于零[1]，对比方程（1），方程（2）中“”这一项会被移除。（注意这里之所以将“”移除，是因为将流体考虑成不可压缩的时候就可以进行移除，与“布辛涅斯克近似”无关。）“”这一项表示的就是“布辛涅斯克近似”项，其中是热膨胀系数，是参考温度。在方程（2）中利用“”项代替方程（1）中的“”来表征流体所受到的热浮力，并将方程（1）中原本的关于温度的变量通通改写成了常数。（是参考温度下流体的密度。）最终在考虑了热浮力流的情况下，就可以将原本复杂的方程（1）变成了较为容易求解的方程（2）。

综上所述，“布辛涅斯克近似”就是利用了较为简单的不可压缩的纳维-斯托克斯方程来求解热浮力流问题。当然同学的眼界要放开，“布辛涅斯克近似”常用于求解热浮力流问题，但是完全可以扩宽到其他方面，例如物质浓度、压力所引起的密度不均导致的浮力流都可以利用“布辛涅斯克近似”进行求解。

二、COMSOL热浮力流计算

下面以COMSOL官网的“自然对流传热”二维模型为例子[2]，用三种方法处理这个热浮力流问题，其中方法1为利用COMSOL内置的“布辛涅斯克近似”进行求解，方法2为利用自定义的“布辛涅斯克近似”进行求解，方法3为利用可压缩的纳维-斯托克斯方程直接进行求解。

方法1COMSOL内置的“布辛涅斯克近似”。按照“自然对流传热”二维模型COMSOL官网PDF的步骤进行操作[3]，就能采用内置的“布辛涅斯克近似”进行求解，如图2所示为启用COMSOL内置的“布辛涅斯克近似”的复选框。如图3所示，为左右两壁温差为10K时采用方法1计算所得的的速度云图和温度云图。从图中可以看出由热浮力流产生的流速最大值为0.00316809米每秒左右。

图2

图3

方法2自定义的“布辛涅斯克近似”。（感兴趣的同学也可以尝试一下根据“”这条表达式，自定义“布辛涅斯克近似”。）如图4所示，为左右两壁温差为10K时采用方法2计算所得的的速度云图和温度云图，其余边界条件均与方法1保持一致。（根据COMSOL官网“自然对流传热”二维模型的参数设置，自定义“布辛涅斯克近似”的参考温度为288.15K比较合适。）对比方法1所计算出的结果，采用方法2计算得到的流速最大值为0.00320519米每秒左右，两种方法的结果非常接近。

图4

方法3可压缩的纳维-斯托克斯方程。如图5所示，为左右两壁温差为10K时采用方法3计算所得的的速度云图和温度云图，其余边界条件均与方法1保持一致。理论上来说采用方法3计算的结果应该是最为准确的，其中方法3计算得到的流速最大值为0.00327296米每秒左右，三种方法的结果都非常接近。

图5

以上就是COMSOL官方用三种方法处理这个热浮力流问题，为了帮助大家理解和掌握COMSOL中的“布辛涅斯克（ Boussinesq）近似应用，以及解决大家COMSOL学习过程中一些问题，欢迎大家关注我在仿真秀平台的公开课。

 

审核编辑 ：李倩