椭圆积分的数值计算

这是翻译自1988年《美国数学月刊》所刊登的关于《高斯，兰登，拉马努金，算术几何平均数，椭圆，  和女士日志》的相关科普文章，文中删减了关于拉马努金，椭圆和  的部分，所以标题也简化了。限于译者水平，文中有不少翻译不恰当的地方，希望读者提出宝贵意见，批评指正。如果想要了解  相关可以参考附录  。

本文主要为了使大家了解椭圆积分的数值计算，重点是兰登变换(Landen's Transformation)的内容。

Virtue and sense, with female-softness join'd (All that subdues and captivates mankind!) In Britain's matchless fair resplendent shine; They rule Love's empire by a right divine: Justly their charms the astonished WorId admires, Whom Royal Charlotte's bright example fires.

美德和理智，与女性的温柔结合在一起（征服和吸引人类的一切！）在英国无与伦比的光辉中；她们以一位正义的神来统治爱的帝国：正是她们的魅力让世界惊叹不已，皇家夏洛特的光辉榜样激发了她们。

1. 前言

算术几何平均数(AGM, Arithmetic-Geometric Mean)是由拉格朗日(Lagrange)首先发现的，几年后高斯(Gauss)在他十几岁的时候重新发现了它。然而，高斯的主要贡献，包括优雅的积分表示，是在大约7至9年后所做出的。那么，本文的第一个目的是解释算术几何平均数并描述它的一些主要性质，其中主要是高斯的贡献。

算术几何平均数由于它的快速收敛性，其在过去十年中被大量用于快速机器计算。因此，本文的第二个目的是描述它在计算  中的作用。我们还强调算术几何平均数具有更广泛的应用，例如，用于计算基本函数如  、  、  和  。有兴趣的读者应该进一步参考这里引用的几个参考文献，尤其是Brent的论文[14]和Borweins的书[13]。

算术几何平均数的确定与椭圆周长的计算密切相关。自开普勒(Kepler)和欧拉(Euler)时代以来，已经发现了几个近似公式来计算周长。得出这种近似关系的主要动机显然是希望准确计算行星的椭圆轨道。因此，本文的第三个目的是描述算术几何平均数与椭圆周长之间的联系，并考察了文献中许多近似公式，其中最准确的要归功于拉马努金(Ramanujan)，他还发现了一些非常不寻常和奇特的椭圆周长近似公式，后者的结果可以在他的笔记本中找到，并且从未发表过，因此我们将特别介绍了这些近似公式。

英国数学家约翰·兰登(John Landen)也对这一思想做出了贡献。在算术几何平均数和椭圆周长确定的研究中，出现了他最重要的数学贡献，现在称为兰登变换(Landen's transformation)。文献中存在许多关于兰登变换的非常重要且看似无关的变体。因此，本文的第四个目的是描述兰登变换的几个公式，并提供这位鲜为人知的数学家一个简短的传记。

几年来，兰登几乎只在《女士日志》(The Ladies Diary)上发表文章。这是历史上第一个定期出版的期刊，其中包含专门讨论数学问题及其解决方案的部分。由于《月刊》(The MONTHLY, 译注：本文的刊登刊物)的一个重要特点源于《女士日志》，因此在本文中对《女士日志》进行简要描述似乎具有双重意义。

2. 高斯和算术几何平均数

正如我们之前提到的，算术几何平均数首先在1784-85年出版的拉格朗日[30]的回忆录中提出。然而，在1816年4月16日给朋友舒马赫（H. C. Schumacher，译注: 丹麦天文学家）的一封信中，高斯透露说，他在1791年14岁时独立发现了算术几何平均数，大约在22或23岁时，高斯写了一篇长篇论文[23]描述了他在算术几何平均数方面的许多发现。然而，与高斯的许多其他作品一样，这部作品直到他去世后才出版。因此，高斯的基础论文直到1866年才出现，当时高斯全集的编辑谢林(Ernst Christian Julius Schering)将该论文作为高斯遗稿的一部分发表。高斯显然非常重视他对算术几何平均数的发现，因为他日记中的一些条目都与算术几何平均数有关，特别是从1799年到1800年的，其中一些条目非常模糊，我们可能仍然不知道高斯发现的关于算术几何平均数的所有内容。（有关高斯日记和评论的英文翻译，请参阅J. J. Gray的论文[24]）

到目前为止，读者可能已经迫不及待地想了解算术几何平均数以及年轻的高斯发现了什么。

和  表示  的正数，构造算术平均数序列和几何平均数序列如下： 

高斯在[23]给出了四个数值例子，我们复制了其中一个，令  和  ，然后有：

（显然，高斯并没有吝啬他的数值计算）从这个例子中可以看出，  和  收敛到相同的极限，而且这种收敛非常迅速，我们现在对此进行证明，注意到 如此等等。因此，  是递增且有界的，  是递减且有界的。每个序列因此而收敛，由初等代数计算得到 按上述公式迭代这个过程，我们推出 当  趋向于  时它趋向于  ，因此，  和  收敛到相同的极限，我们用  表示这个收敛的极限值，根据定义  是  和  的算术几何平均数。

为了更加定量的衡量收敛速度，首先定义 

其中  和  ，注意到 因此，  趋向于  二次方，或者收敛是二阶的。更一般地，假设  收敛到  并假设存在常数  和  使得 那么我们说收敛是  阶的。

高斯的论文[23]中最重要的定理可能是  的以下表示，我们为此提供了高斯的巧妙证明过程

定理  ：

让  ，并定义 然后 积分  称为第一类完全椭圆积分(the complete elliptic integral of the first kind)。注意在  的定义中，  可以被  代替。

在证明定理  之前，我们对其进行重新表述，定义 很容易看出 其中 因为 

对于任何常数  ，它满足上面的  ， 可以立即由定理  得到以下表述

定理  ：

令  ，有 证:

显然，  是  的偶函数，高斯然后假设 现在进行  替换，由(4)式可知  代入(5)，我们发现 显然，  ，对  二项式级数中展开，并令两边  的同幂系数相等，我们最终发现 这里我们介绍如下记号 推导(6)的完整细节可以在高斯的论文[23, pp.367-369]中可以找到。

我们现在必须用  来确定(6)中的级数，在二项式级数中展开  的被积函数并逐项积分，我们发现 结合(6)和(8)，我们完成了高斯定理的证明。

Newman在[39]中给出了定理  的另一个简短而优雅的证明，并由J. M.和P. B. Borwein在参考中[10]作了概述。

关于高斯对算术几何平均值的许多贡献，请参见Cox的论文[18]。我们将在第5节继续讨论高斯的一些发现。

3. 兰登和女士日志

我们接下来简述定理  (或定理  )的另一个证明，这主要归功于18世纪的英国数学家约翰·兰登(John Landen)。

证明2：

虽然基本思想源于兰登，但我们将要描述的迭代过程显然是由若干年后的勒让德(Legendre)[33, pp. 79-83]提出的，为简洁起见，设 其中  由(1)定义，在第一类完全椭圆积分(2)中，代入 这称为兰登变换，经过大量的计算，我们发现 在  次迭代后，得到 由于通过(1)和(9)，  ，我们看到(11)简化为 现在我们让  趋向于  ，由于  趋向于  而  趋向于  ，我们得出结论 兰登变换(10)是由他在1771年发表的一篇论文[31]中提出的，并在他1775年发表的最著名的论文[32]中以更完善的形式呈现。兰登变换存在多个版本，兰登变换通常表示为椭圆函数理论中两个微分之间的相等关系[17]，[37]。米塔格-莱弗勒(Mittag-Leffler)指出了兰登变换的重要性，他在对椭圆函数理论的非常敏锐的调查[37, p. 291]中评论说，“欧拉加法定理和兰登与拉格朗日变换定理是椭圆函数理论在1786年被勒让德重新考虑时所拥有的两个基本思想。”

在第4节中，我们将证明以下定理，通常称为第一类完全椭圆积分的兰登变换。

定理  .

如果  ，那么 事实上，定理  是以下当  时更一般公式的特例。如果  ，那么 这被称为第一类不完全椭圆积分的兰登变换。

为了描述兰登变换的另一种形式，我们引入高斯超几何级数(Gauss's hypergeometric series) 其中  、  和  表示任意复数，  由(7)定义，然后兰登对超几何级数的变换是 定理  和  意味着如下的特殊情况 因此，看似不起眼的“变量变化”(10)具有许多重要的难以意料的结果。事实上，兰登本人显然从未意识到他想法的重要性。

无疑大多数读者都不知道兰登，因此在这里给出一个简短的传记似乎是合适的。他出生于1719年，根据大英百科全书[20]，“他过着非常隐逸的生活，对社会几乎一无所知；当他真的融入其中时，他的教条主义和好斗性使他不被接纳”。1762年，他被任命为Earl Fitzwilliam的土地代理人，直到1790年他去世的前两年。

作为一名数学家，兰登主要是一名分析师和几何学家。他的大部分重要作品都是在他职业生涯的后期发表的。其中包括上述论文和数学回忆录，分别于1780年和1789年出版。多年来，兰登为《女士日志》贡献了许多问题和解决方案。从1743年到1749年，他一共提出了11个问题，并发表了13个问题的解决方案。然而，Leybourn在[34]中透露，《女士日志》的撰稿人经常使用别名，特别是，兰登使用了化名Sir Stately Stiff、Peter Walton、Waltoniensis、C. Bumpkin 和Peter Puzzlem，他们共同提出了10个问题并回答了17个问题。Leybourn在[34]中将 1704-1816年《女士日志》中的问题和解决方案汇编成四卷。特别有价值的是他的学科分类和贡献者指数。(1704-1760年的问题和解决方案之前已被其他人收集在1774年的一卷中[50]。)

1704年首次出版的一年一度的《女士日志》显然在英国很受欢迎，年发行量达数千份。女士日志“主要是为的娱乐和指导男女平等而设计的”。它包含“艺术和科学新的进步，以及许多有趣的细节……用于公平的性别对待。”封面上有一首献给在位女王的诗，通常每年几乎没有变化。我们的论文从1776年的一首诗开始，它深深地向乔治三世国王的挚爱致敬。除其他外，《女士日志》包含“重大事件年表”、王室出生日期、谜团以及对前一年谜团的答案，谜题和答案通常被设置为诗句。

《女士日志》的大部分内容专门用于解决上一期提出的数学问题。尽管该期刊的名称如此，但女性的贡献者寥寥无几。Leybourn的简编[34]总共列出了913名贡献者，其中32名是女性。因为提议者和求解者确实偶尔会使用Plus Minus、Mathematicus、Amicus、Archimedes、Diophantoides等笔名以及上述兰登的别名，所以女性贡献者的数量可能略高一些。...几何问题很流行，但是严谨性很差，如下是1783年的一个例子，令 证明  。1784年，约瑟夫法兰西(Joseph French)提供了以下“优雅”的解决方案，我们看到 因此，  。

那些希望了解更多关于兰登作品的读者可以参考Watson的文章“侯爵和土地代理人”[52]（The Marquis and the Land-agent）。想要了解更多《女士日志》数学内容的读者，一定要查阅Leybourn的简编[34]。(美国只有少数图书馆拥有《女士日志》的副本。伊利诺伊大学图书馆拥有相当详尽的馆藏，尽管在1774年之前存在一些空白。T. Perl在[43]中已详细描述了《女士日志》重点是女性的贡献，并分析了日志中女性数学教育的积极和消极社会学因素。有关《女士日志》和其他晦涩难懂的英语数学期刊的更多历史信息，请参阅Archibald的论文[2])

4. 伊沃里和兰登变换

1796年，伊沃里(J. Ivory, 1765-1842)[25]发表了椭圆周长的新公式。一个非常相似的证明建立了定理2，这是上一节中讨论的兰登变换的另一个版本。

在证明定理  之前，我们注意到它也暗示了定理  的一个新版本。

定理  .

如果  ，那么 定理  也来自定理  ；让  并利用(4)。

定理  的证明:

使用  的定义(2)，采用二项式级数，并交换下面的求和和积分的顺序，由(8)，我们发现 证毕。

伊沃里的论文[25]建立了定理2的类似公式，具有一个不同寻常的特点，即它以伊沃里在提交论文时发送给编辑John Playfair的“求职信”开头！在这封信中，伊沃里告诉Playfair是什么导致了他的发现。显然，编辑认为将伊沃里的信作为论文的序言发表是公平的，这封信内容如下：

如您所知，我花了很多时间和精力研究与行星相互干扰有关的物理天文学部分，自然而然地，我被引导考虑解决公式  的各种方法, 转化为  形式的无限级数。在这些研究过程中，我想到了一系列对…进行校正的方法，其简单性和快速收敛性令人赞叹。由于我认为它是新的，所以我将它发送给您，并附上一些关于刚才提到的公式演变的备注，如果您认为合适，您可以提交给皇家学会考虑。

詹姆斯·伊沃里

审核编辑 ：李倩