用于离散时间控制系统的PID解决方案

作者：Peter Galan

掌握如何减少噪声，使用中断服务例程，以及更多关于PID控制传递函数的信息。

虽然在 s 域中处理控制系统是完全合乎逻辑的，因为受控系统是连续（时间）运行的，但控制系统的实现是另一回事。现在，几乎所有的控制系统都是基于微处理器（微控制器）或数字信号处理器的数字系统，如图 1所示。

▎图 1 ：此框图显示了一个数字闭环控制系统。

用于离散时间控制系统的 PID

模拟 PID 控制器，仍然被认为是非常强大的（图 2），可以修改为离散时间控制系统，因为将其微分方程（等式 1）重写为其差分形式（等式 2）并不困难。

其中 u[n] 是当前时间 n 的驱动值，e[n] 是时间 n 的调节误差， e [n-1] 是前一采样时间 n-1 的调节误差。T 是采样的时间段。相同的时间段 T 用于信号处理，即用于 u[n] 的计算。

对于实际应用，等式 2 需要从积分部分开始进行某些修改。积分部分将调节误差的每个值相加，然后将该和乘以时间常数和积分常数。如果时间或积分常数的值突然变化（这可能发生，尤其是在整定过程中），则驱动值将突然变化并导致问题。更好的方法是先将调节误差乘以这两个常数，然后再累加其乘积。通过使用梯形近似积分代替矩形近似积分，可以从另外一方面实现改进。

 如何减少噪声？ 

等式 2 的导数是问题的第二个来源。在其简单形式中，该成员往往是噪声。为了减少噪声，可以使用两个以上（例如四个）连续的调节误差采样。结果就好像调节误差的差值通过了一个微小的（4 阶）有限脉冲响应（FIR）滤波器。修改后的 PID 公式如下等式 3 所示。该差分方程可以在任何编程语言和任何微处理器 / 微控制器中实现。

 中断服务程序 

尽管如此，关于采样 / 处理周期 T 还有一个悬而未决的问题。控制过程周期（频率）是多少，它取决于什么？控制频率仅取决于闭环传递函数的时间常数。请记住，这个时间常数可以比受控系统本身的时间常数小一个数量级。最佳情况下，运行控制程序的频率应比闭环时间常数 τ 的值高 5 到 10 倍。在控制过程开始运行之前，应具有 r[n] 和y[n] 的最新样本。

最好的安排是，如果控制程序被称为中断服务例程（ISR），则由提供 y[n] 值的 A/D转换器触发。控制程序计算的结果，即执行变量 u[n]，应尽快发送到 D/A 转换器。否则，受控系统的传递函数将受到传输延迟的影响，这可能会破坏控制系统（使其不稳定）。

为了避免噪声，必须彻底过滤所有测量变量，如 y(t)信号，因为噪声总是可以从外部渗透到控制系统中，例如，由电子部件（主要是开关电源）引起的板载噪声。它们应通过适当的抗混叠滤波器，并且截止频率远低于采样频率 1/T 的一半。如果由于某种原因，它们无法通过适当的模拟滤波器进行过滤，则至少应过采样并进行数字滤波。

▎图 2: PID 控制器根据比例、积分和微分分量计算驱动值

 关于 PID 控制传递函数的更多信息 

等式 3 不是实现离散 PID 控制器的唯一方法。另一种可能性是将 PID 控制传递函数从其 s 域（等式 4）转换为 z 域。实际上，这种转变有两种方式。两者都是从离散时间积分的不同近似推导而来的。最常见的近似离散时间积分是矩形（等式 5）和梯形（等式 6）近似。

如果在 z 域中表达 ，对于矩形近似，您将得到

这是梯形近似的结果 ：

等式 7 和 8 对应于积分项，其在 s 域中表示为 1/s。因此，如果取等式 7 右侧的倒数（s），并用其替换等式 4中的每个 s 算子，则会得到 PID 补偿的以下传递函数（在z 域中）：

类似地，如果取等式 8 右侧的倒数，并用其替换等式 4 中的每个 s 算子，则会得到以下 PID 补偿的传递函数（在 z 域中）：

 z 域中的控制系统建模 

等式 9 和等式 10 适用于在 z 域中对控制系统建模（例如在 Matlab 中），但不能由任何控制器直接实现。然而，在对等式 9 进行 z 逆变换后，您将得到以下等式

和等式 10 的 z 逆变换 ：

等式 11 和等式 12 非常适合在任何微处理器（微控制器）或数字信号处理器上实现。如果将 K1、K2 和 K3作为预先计算好的常数（而不是变量），整个控制过程将需要三次乘法、四次加法并需要记住四个先前计算的变量——两个调节误差 e[n-1] 和 e[n-2]，以及两个驱动变量 u[n-1] 和 u[n-2]（仅适用于等式 12）。e[n] 计算需要一次减法。

 无限脉冲响应滤波器

您可以进一步优化控制程序。数字信号处理行业有非常流行的递归滤波器，即所谓的无限脉冲响应（IIR）滤波器。通常，它们是级联二阶滤波器。图 3 显示了一个这样的二阶滤波器，通常称为“双二阶”，转换为其标准形式，即级联形式 II。

▎图 3 ：二阶规范 IIR 滤波器部分用作 PID 控制器。

实现这种双二阶需要更少的内存空间，只需要记住两个状态变量 d[n-1]、d[n-2]，而不是四个变量。标准无限脉冲响应滤波器段由以下两个差分方程描述 ：

尽管选择有限，但 A1 和 A2 的值仍然有选择的余地。然而，必须遵守两条规则 ：A1 和 A2 值的总和必须始终为1.0，并且任何值都不能大于 1.0。因此，可以使用的 A1和 A2 系数如，值 1.0 和 0，或 0.5 和 0.5，或 0 和 1.0，或介于两者之间的任何值。

最后一种组合，其响应与等式 12 的相同。A2 值越低，控制系统响应越快。这可以简化整定过程，因为您可以将 KI 常数（以及 KP 和 K D 值）设置为某个合理的值，而不是频繁修改 KI 值（如果您想使 KP 和 K D 值达到最优则需要重新计算，即取消受控系统的极点），例如，将 KI 调整为值 10/(τ1+τ2)（其中 τ1 和 τ2 是受控系统的主要时间常数），并通过调整 A1 和 A2 值完成最终的整定。

 并非每个 PID 实现都令人满意 

虽然在必须实现任何算法问题时有一个选择总是很好的，但并非每个实现都能提供令人满意的结果。这同样适用于本文所描述的 PID 控制过程。理论上，所有这些过程在纸面上都很好地工作，但是当实施时，就会出现问题。

虽然第一个公式，等式 3 的实现需要比其余两个更多的数学运算（乘法、加法）和记住更多先前的结果，但它提供了非常平滑的结果。等式 11 的行为也类似。然而，等式 12 的实现将无法产生令人满意的结果，因为它在稳定边缘上运行，其输出将永久振荡。等式13/14 将正常工作，但 A1 系数必须保持 >0，否则的话，其行为将与等式 12 实现完全相同，并产生永久振荡。

关键概念： 

■ 检查在离散时间控制系统中使用 PID的选项。

■ 掌握如何减少噪声，使用中断服务例程，以及更多关于 PID 控制传递函数的信息。

编辑：黄飞