数字电子技术基础----逻辑函数的化简方法

描述

1逻辑函数的化简方法

 本文通过具体题目来总结逻辑函数的化简方法:

总的来说包括两大部分:公式化简法和卡诺图化简法:

一、公式化简法

①并项法:AB + AB' = A

    例:

 

Y1 = A(B'CD)' + AB'CD = A[(B'CD)' + B'CD] = A;
Y2 = AB' + ACD + A'B' + A'CD = B'(A + A') + CD(A + A') = B' + CD;
Y3 = A'BC' + AC' + B'C' = A'BC' + (A + B')C' = A'BC' + (A'B)'C' = C';
Y4 = B(C'D + CD') + B(C'D' + CD) = B(C^D) + B(C^D)' = B;

 

    这种方法本质上是类似于合并同类项,将剩余部分构造成A + A’的形式;其中Y3和Y4需要稍微注意一下。

[注]^代表的是异或,()'代表的是取非。

②吸收法:A + AB = A

    例:

 

Y1 = ((A'B')' + C)ABD + AD = ((A'B')' + C)BAD + AD = AD;
Y2 = AB + ABC' + ABD + AB(C' + D') = AB + AB(C' + D + C' + D') = AB;
Y3 = A + (A'(BC)')'(A' + (B'C' + D)') + BC = A + (A + BC)(A' + (B'C' + D)') + BC = A + BC;

 

    其中,Y3中,化简出(A + BC)后,将式子乘开,则后面每一项中要么含有A,要么含有BC,所以,可以直接使用吸收法得出最后结果。

    吸收法的本质类似于数学中的大小集合问题,画个卡诺图来解释一下:

函数

    可以看到,A的范围比AB要大,所以他们属于一个包含关系,在A为真的情况下,则AB一定为真,故A + AB = A;

③消项法:AB + A'C + BC = AB + A'C ,AB + A'C + BCD = AB + A'C

    例:

 

Y1 = AC + AB' + (B + C)' = AC + AB' + B'C' = AC + B'C';
Y2 = AB'CD' + (AB')'E + A'CD'E = AB'CD' + (AB')'E;
Y3 = A'B'C + ABC + A'BD' + AB'D' + A'BCD' + BCD'E'
   = C(A^B)' + D'(A^B) + CD'(B(A' + E')) = C(A^B)' + D'(A^B);

 

    注意出题的时候,不一定按照常规的公式来出,有可能换着字母出题,让人觉得不适应。第一个公式和第二个公式之间,很明显暗含了一个吸收法的公式,因为BC所表示的范围要比BCD大,所以第一个公式成立的话,那么第二个公式一定成立。

④消因子法:A + A'B = A + B;

    例:

 

Y1 = B' + ABC = B' + AC;
Y2 = AB' + B + A'B = B + A + A'B = A + B;
Y3 = AC + A'D + C'D = AC + (A' + C')D = AC + (AC)'D = AC + D;

 

⑤配项法:

    1.根据基本公式:A + A = A;所以,逻辑函数中重复写入某一项,有时能够获得更加简单的化简结果。

 

Y = A'BC' + A'BC + ABC;重复写入A'BC
所以:Y = (A'BC' + A'BC) + (A'BC + ABC) = A'B + BC;

 

    2.根据基本公式A + A'=1;所以,可以在函数式中的某一项乘以(A+A'),然后拆分成两项分别与其他项合并,有时可以得到更加简单的结果。

    例:

 

Y = AB' + A'B + BC' + B'C
  = AB' + A'BC + A'BC' + BC' + AB'C + A'B'C
  = (AB' + AB'C) + (BC' + A'BC') + (A'BC + A'B'C)
  = AB' + BC' + A'C

 

二、卡诺图化简法

    卡诺图化简比较直观简单,一般可以用于公式法化简之后的验证!

三、考研真题解析

(2017山东大学考研906)用公式化简:F=AD+BCD'+(A'+B')C

【解析】

    常规想法:

 

F = AD + BCD' + A'C + B'C
  = AD + C(B' + BD') + A'c
  = AD + C(B' + D') + A'C
  = AD + C(A' + B' + D')
  ……

 

    好像做不动了,怎么去解决这个问题呢?

    用卡诺图!

    虽然题目中,明确规定使用公式法化简,但是此处想不到用什么公式怎么办,那就从卡诺图入手,看看是否有突破口,然后反推公式法化简。

    卡诺图如下:

函数

    可以得出最后的结果是:AD + C;

    怎么由这个结果往回推呢?

    首先:前面得到F = AD + BCD' + A'C + B'C

 

F = AD + BCD' + A'C + B'C    //式子中已经有AD,暂时不用处理

 

    在卡诺图中,除去AD的部分,再把其余表达式在卡诺图中标出来,可以看到,剩余的部分无论怎样都无法构成C,少了一项ABCD:

函数

    所以,需要从AD(绿圈)中分出一部分来,即下图中粗长方形圈的部分:

函数

    这便相当于在原有的表达式中添加了一项:ACD

    即:

 

F = AD + BCD' + A'C + B'C
  = AD + ACD + BCD' + A'C + B'C
  = AD + C(A' + AD) + C(B' + BD')
  = AD + C(A' + D) + C(B' +  D')
  = AD + A'C + CD + B'C + CD'
  = AD + C(D' + D) + A'C + B'C
  = AD + C + A'C + B'C
  = AD + C

 

【总结】

    上题旨在分析添加某一项的思想。

    添加某一项来帮助化简,本身就是一个比较难想出来的过程;通过卡诺图画图分析的形式,可以帮助我们理解为什么要添加某一项。并且,这样做也可以在遇到困难的题目,实在解决不了时,当成一个急救的办法。

 

 

  审核编辑:汤梓红

 

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