多学科优化设计中的元建模（续）

所有的知识和研究都是为了增强人类对于自然、社会或者工业产品的认知。这些认知最后汇总为规律、定理、准则。

广义而言，元模型是对所有非线性复杂规律的描述，虽然通常用于工业品设计，但是它也可以用于描述自然现象，比如大气对流的降阶模型。

今天我们继续聊聊元模型和优化。

多元模型优化

优化是同时使用多个元模型的常见情形。

例如Mack等人采用多项式响应面和径向基神经网络对器件进行全局灵敏度分析和形状优化，以促进混合，同时最大限度地减少总压力损失。由于设计空间中的有效区域是分散存在的，因此很难使用单个替代模型来捕获这些局部但关键的特征。

Kammer 和 Alvin从单个元模型的线性加权组合创建“主”响应面，以创建在整个输入参数空间上有效的超级元模型。

Glaz等人使用多项式响应面、克里金法、径向基神经网络和加权平均元模型来减少直升机旋翼叶片振动。他们的结果表明，可以使用多个替代项来定位低振动设计，如果仅采用一种近似方法，则做不到这一点。

Samad等人的工作强调多元模型的优势。他们在NASA转子37的压缩机叶片形状优化中使用多项式响应面，克里金法，径向基神经网络和加权平均代理。研究发现，最准确的元模型并不总是导致最佳设计。这表明使用多元模型可以以最小的计算成本提高优化的鲁棒性。

事实证明，以这种简单的方式同时使用多个代理项（即一组代理项，可能还有一个加权平均代理项）在设计优化中非常有吸引力。我们用一个具有四个设计变量和一个响应的假设优化问题来说明这种潜力。这通常需要大约30 到 40 个点进行代理建模。假设每个仿真运行一个小时，这意味着对设计空间进行采样需要30 到 40 小时。让我们比较两种场景：一种是使用传统的多项式响应面，另一种是使用其他三种更精细且更昂贵的代理项（例如克里金模型、神经网络和支持向量回归模型）。拟合多项式响应曲面非常简单，因为它只需要求解线性方程组（40个方程组和 15 个未知数）。同样，多项式响应面的计算成本也很便宜。多项式响应面的整个学习需要不到 5 秒的时间。另一方面，拟合克里金法、神经网络和支持向量回归模型需要求解优化问题。四个元模型的拟合和PRESS计算需要1小时多一点。此时，可以使用差异的PRESS 值来排除潜在的不良模型。如果所有元模型都同样好，我们甚至可以选择添加第五个模型，以加权平均元模型的形式将四个模型结合起来。

应该记住，优化元模型并不能保证元模型最佳或者接近真正的最佳。在实践中，基于元模型的优化按顺序进行，使用高保真模型评估代理项预测的点，然后重新拟合代理项并再次执行优化，直到实现收敛。这就解释了为什么顺序采样框架最近成为大量研究的目标。

前面的框架仅使用元模型模型的预测功能。当计算预算只允许很少的优化周期（可能只有一个或两个）时，这可能很有用。尽管如此，我们想指出的是，顺序采样策略（例如有效全局优化和增强顺序优化算法的变体）最近得到了大量研究。

具体来说，Rai和Campbell引入了定性和定量的顺序抽样技术。该方法通过称为“置信函数”的标准将来自多个来源（包括计算机模型和设计师的定性直觉）的信息结合起来。使用各种示例演示了该方法的功能，包括双稳态微机电系统的设计。

Gorissen等人将多元模型带入适应性采样。目标是能够通过迭代添加点来选择最佳元模型。他们定制了一种遗传算法，该算法结合了自动模型类型选择、自动模型参数优化和顺序设计探索。

商业软件中的元建模能力

目前，存在许多实现各种元建模技术的商业软件包，但对于商业软件系统元建模并不是最终目标。在许多情况下，元建模是优化和设计探索功能的伴侣，因为以自动方式确定给定条件的最佳系统仍然是主要任务。商业软件的发展来自两个主要来源：学术研究和工业需求。学术研究为探索科学发展的各个方向提供了极大的灵活性和能力，而工业需求是由需要在短时间内解决的问题决定的。由于软件公司的融资主要取决于行业，因此它们的目标是首先满足当前的行业需求，同时试图预测任何未来的需求。这种预测未来需求的必要性使他们进行自己的研究，也要求他们跟随学术研究的趋势。在针对未来需求的高效研究和即时的日常重要行业需求之间保持平衡并非易事，尤其是考虑到销售软件的需求。这种平衡的一个重要部分是方法和算法的高效和稳健的实现。

计算机技术和图形用户界面（GUI）开发的进步以及竞争导致商业软件系统在与第三方分析/模拟代码以及预/后处理甚至底层算法的集成方面提供类似的功能。各种软件产品的GUI变得相似，尽管由于缺乏既定的术语，类似的算法被称为不同的名称。因此，用户的学习曲线可能会因软件环境而异。选择商业软件可以基于这些特点进行评估：易用性、特定类型优化问题的典型计算成本、可视化功能、元建模和优化算法等，以确保软件提供所需的内容。

DAKOTA是开源软件。由于更多地受到研究和出版物的驱动，它往往比商业软件更处于算法的前沿。DAKOTA拥有比商业软件更多种类的优化和元建模方法。然而，由于缺乏苛刻的付费客户，用户友好性不如商业软件。具体来说，没有经验的用户可能会被各种算法和每种算法中的选项所淹没。使用C++作为核心语言可提供组件的即插即用功能和自然路径以实现可扩展性。

MATLAB的主要关注点不是元建模或优化。相反，它是一种数值计算环境和编程语言。它是一个灵活而广泛的工具，几乎所有专门的元建模/优化软件都有直接接口。此外，MATLAB 本身有一个优化/元建模工具箱，其中包含各种可用的算法和选项。由于MATLAB 提供了很好的编程、预处理和后处理功能，以及来自各个领域的链接、方法和工具，因此它本身就是一个有吸引力的优化和元建模系统。

开源工具UQlab是一种基于MATLAB的不确定分析和优化设计工具。它的重点是不确定性分析，但是它同样拥有强大的高斯过程和PC-克里金建模方法，并且在灵敏度分析、可靠性分析、支持向量机、高级概率建模、低秩张量近似与贝叶斯校准方面具有非常优秀的算法。

鲜为人知的是Excel具有适合解决非线性问题的优化工具。尽管在可解决的问题规模方面落后于专门的优化软件，但Excel Solver 提供了漂亮且易于使用的优化功能。除此之外，大多数商业优化/元建模软件包都有专门的Excel界面。

HyperStudy的主要优势之一是与 HyperMesh紧密相连。与HyperMesh 的集成可实现 FEA/MBD/CFD求解器输入数据的直接参数化，以及绘图和动画输出的一步提取，从而使求解器与HyperStudy 的集成更加高效。

iSight是使用最广泛的商业优化包之一。它支持直接集成到大量第三方分析/模拟工具和CAD程序。iSight提供的独特工具之一是使用参数的物理尺寸来创建较少数量的非尺寸参数，以便更轻松地半自动减少设计变量，并确定系统设计中的基本趋势。

LS-OPT与LS-Dyna非线性有限元代码一起开发(现在归属于ANSYS软件)，并提供优化和元建模功能，可直接在与该有限元代码的紧密耦合范围内以及独立运行。与LS-Dyna的紧密耦合提供了独特的功能，可以有效地执行各种类型的优化以及使用非线性FE代码进行权衡研究。具体来说，对某些结构问题的不稳定性/噪声/异常值调查和变量筛选使LS-OPT与其他工具区分开来。

Optislang与DesignXplorer是ANSYS公司的产品。前者逐渐替代后者成为ANSYS软件集成系统的元建模和优化设计工具。与前述的商业软件相比，除了拥有敏感性分析、响应面、高斯过程这些基础方法以外，Optislang的MOP（最佳预后元模型）是典型的多元模型设计理论的一个具体实现；深度高斯过程在复杂随机数据元建模方面有独特优势；稳健性设计之外的可靠性设计方法也更加有效。

元模型驱动的设计空间探索与可视化

元建模不仅降低了优化的计算成本，而且还为快速设计空间探索提供了一种手段，通常更重要的是可视化。由于元模型的评估速度很快，几乎是即时的，因此当设计（输入）变量在图形设计环境中发生更改时，它们能够实时计算性能分析。在图形设计界面中具有快速响应的重要性已被许多研究证实，有效设计空间探索的快速分析能力至关重要。

在MDO社区内，该领域的研究主要在两个方面进行：改进使用元模型进行设计空间探索的软件和可视化工具，以及评估采用元模型的可视化策略。前者的例子包括图形变形，云可视化，马赛克可视化和高级系统设计套件。它们使用各种类型的元模型允许用户通过实时交互来引导和可视化模拟。最近的发展旨在改进可视化结果的方法比如N维帕累托边界。与此同时，佐治亚理工学院的航空航天研究人员已经广泛使用JMP中的元建模和可视化功能进行多维参数权衡与设计空间探索。

至于第二项研究，由于许多工程设计团队经常使用可视化设计环境，因此对基于元模型的可视化的好处的评估变得越来越普遍。例如，Ligetti和Simpson研究了使用一阶，逐步和二阶多项式回归模型在详细的制造模拟中近似系统响应，发现与一阶和二阶多项式回归模型相比，使用逐步回归模型显着减少了任务完成时间并减少了误差。这些发现，结合上述响应延迟的重要性，对元模型驱动的可视化设计环境的使用和开发具有重要意义；潜在的好处是巨大的，但我们必须非常注意人机交互，以避免同样可能发生的陷阱。

未来的研究方向

首先，维度难题仍然存在。有许多因素使高维问题本身变得困难。在这里，我们认为全局敏感性分析将在缓解维度难题方面发挥重要作用，许多人正在研究减少与高维问题相关的计算费用的方法。统计上合理，健壮和可扩展（即能够处理大量输入和输出）的方法非常重要。其次，计算复杂性仍然存在。问题变得更加复杂和/或我们正在尝试做更多的事情（例如，不确定性下的优化，基于可靠性的设计优化和鲁棒设计）。同时数值噪声问题仍然存在，由于许多分析的计算复杂性增加，数值噪声似乎越来越严重，并且在执行模型验证（检查模型是否再现了感兴趣的过程的已知行为）时也带来了额外的挑战。处理混合离散/连续变量的挑战也仍然存在，并且由于目前正在研究的问题的性质，情况可能会变得更糟。最后，对于基于元模型的优化的需求继续受到相当大的关注，而且元模型和底层模型的验证与以前一样重要。

结论

元建模和优化要成为工业界的日常和常用工具还有很长的路要走。尽管大计算成本是研究背后的主要或唯一动机，但仔细观察就会发现，对更新和更实用工业设计能力的持续需求才是真正推动元建模发展的原因。

审核编辑 ：李倩