讲解RC电路的零输入响应

描述

【动态电路】中无外施激励电源,仅有动态元件初始储能所产生的响应,称为动态电路的零输入响应,这个有点拗口,需要记住,这期介绍RC电路零输入响应,需要点一阶线性微分方程的基础。

关键词:串联RC电路;零输入响应;

01路结构

如图1-1所示,是RC电路的结构:

一阶电路

图1-1 RC电路

图1-1中,开关S闭合前,电容C已充电,其电容电压为U0,得已知条件为:

一阶电路

02分析思路

开关S闭合后,电容储存得能量将通过电阻以热能得形式释放出来,以开关动作为(t=0),那么开关闭合后,根据KVL可得:

一阶电路

式(1.2)中电阻电压和电流为:

一阶电路

将式(1.3)和式(1.4)代入式(1.2)可得:

一阶电路

式(1.5)满足一阶齐次微分方程,这里不懂得可以回看【重拾数学基础】,列出其初始条件:

一阶电路

齐次方程的通解为:

一阶电路

将式(1.7)代入式(1.5)可得:

一阶电路

式(1.8)的 特征方程为:

一阶电路

解式(1.9)可求得系数p为:

一阶电路

将式(1.6)代入式(1.7)可求得系数A:

一阶电路

这样就求得满足初始值的微分方程的解为:

一阶电路

同时可以由式(1.12)求得电容电流为:

一阶电路

电阻上的电压就是电容上的电压为:

一阶电路

从式(1.12)、(1.13)、(1.14)可以看出,电容电压、电阻电压、电容电流都是按照同样的指数规律衰减的,其衰减快慢是由指数RC的倒数决定的,所以称RC的乘积为RC电路的时间常数。

时间常数RC的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度:

当t=0时,电容上的电压为:

一阶电路

当t=RC时,电容上的电压为:

一阶电路

经过n个时间常数后,电容上电压如图1-2所示:

一阶电路

图1-2 衰减电压数值

工程上,一般认为换路后,经过3~5倍的时间常数,就认为过渡过程结束!

将图1-2表示的数值通过坐标表示,可如图1-3所示:

一阶电路

图1-3 衰减波形图

下期讲解RL电路的零输入响应!

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