褶皱的新数学是如何形成的

2018年，在密歇根大学的一次演讲开始几分钟后，Ian Tobasco拿起一张大纸，把它揉成一个看似混乱无序的球。他先把它拿起来让观众看了看，又揉了几下，然后摊开。

“我得到了大量的褶皱，现在问题来了，”他说，“是什么原因从一些更有序的图案模型中选择了这个图案模型？”

“What selects this pattern from another, more orderly pattern?”  

然后，他拿起第二张大纸——这张纸被提前折叠成著名的三浦织（由日本东京大学构造工学名誉教授三浦公亮所发明的折叠技术）平行四边形折纸图案，然后将其压平。他说他在这两张纸上用的力大致相同，但得到的结果却大不相同。三浦织图案被整齐地划分成了一些几何区域；而皱巴巴的球上，则是一团乱糟糟的锯齿状线。

“你会感觉到”，他指着皱巴巴的纸上零散排列的折痕说，“这个皱巴巴的球，只是三浦织的一个随机无序版本。” 然后他指了指整洁有序的三浦织。“但我们还没有确定这是否属实。”

建立上述的这种联系需要建立弹性模型的通用数学法则。Tobasco多年来一直在研究这个问题，即研究描述薄的弹性材料（试图通过恢复其原始形状来响应变形的材料）的“方程式”。用力戳一个气球时，气球会形成放射状皱纹的星爆图案；当你移开你的手指，气球会恢复原始形状再次变得光滑。挤压一个皱巴巴的纸球，当你松开它时它会膨胀（尽管它不会完全不皱）。工程师和物理学家已经研究了这些模型在特定情况下呈现的结果，但对数学家来说，这些实际结果指向了一个更基本的问题：

In general, what selects one pattern rather than another？    

2021年1月，Tobasco发表了一篇论文（https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-020-01566-8），肯定地回答了这个问题——至少可以回答将光滑、弯曲、有弹性的片材压成平面的情况（这些条件为解决这个问题提供了一种明确的方法），皱巴巴的球是三浦织的随机无序版本。他的“方程式”预测了看似随机的褶皱是如何包含具有重复、可识别的“有序”域。上个月他又与人合作了一篇论文，展示了一种新的、以严谨的数学为基础的物理理论，该理论可以预测现实场景中的模型。

值得注意的是，Tobasco的工作表明，褶皱在许多方面可以被视为几何问题的解。“这是一个美妙的数学分析，”德国波恩大学豪斯多夫数学中心的Stefan Müller 说。

它首次优雅地阐述了这一普遍现象背后的数学规则——以及一种新的理解。“数学在这里的作用并不是证明物理学家已经做出的猜想”，纽约大学库朗研究所的数学家、Tobasco的研究生院顾问Robert Kohn说，“而是对于以前我们没有系统理解的地方，提供一个数学理论。”

Stretching Out

发展褶皱理论和弹性理论是一个古老的目标。1894年，在《自然》杂志的一篇文章中，数学家George Greenhill指出了理论学家（“我们要思考什么？”）以及他们可以弄清楚的有效应用（“我们要做什么？”）之间的区别。

在19世纪和20世纪，科学家们在“我们要做什么”方面取得了很大进展，研究了与正在变形的特定物体的褶皱有关的问题。早期的例子包括：为航海船只锻造光滑、弯曲的金属板的问题，以及试图将山脉的形成与地壳的加热联系起来。

最近，数学家和物理学家更加努力地将理论研究、实际观察与各种起皱情况、几何形状和材料联系起来。“这已经持续了大约10年，我们首先进行实验，然后试图找到可以理解它们的理论”，牛津大学的数学家Dominic Vella说。“直到最近，我们才开始有了正确的认识。”

Ian Tobasco提出了一种理论，该理论以数学方式描述了曲面被压平时出现的各种褶皱。

他们已经取得了一些令人兴奋的结果。2015年，麻省理工学院的机械工程师Pedro Reis描述了在瘪硅球上形成的几何图案的物理规律。他的工作将这些褶皱和弹性材料内外层的厚度联系了起来。Reis还指出，褶皱可能会为设计新机械行为提供机会，而不是被视为缺点。然后在2017年，Vella带头领导分析了薄弹性薄膜在压力下的起皱不稳定性，并描述了褶皱数量是如何根据初始戳的深度和其他具体细节的变化规律。

但这些发展仍然只解决了部分问题。为了更一般地理解褶皱是如何形成的，我们需要一种不同的方法。而Tobasco则是进一步推动该领域前进的人。

Following Curiosity    

Tobasco年轻的时候，他认为自己会进入航空航天工程。他2011年毕业于密歇根大学，获得了该领域的学士学位，但那时他已经开始深入思考数学推理和物理系统。他获得了数学博士学位，所以他开玩笑地责怪现在雪城大学的物理学家Joey Paulsen让他走上了研究褶皱的道路。  

在Paulsen职业生涯的早期，当他研究不寻常材料的性质时，他学会了使用一种称为旋涂的技术，制造并分析超薄聚合物薄膜。首先，他制造了一种特殊的液体材料，其中含有微量溶解的聚合物；然后他将材料放在旋转板上。大部分液体会蒸发，而聚合物在凝固之前会扩散成均匀的厚度。Paulsen在雪城大学拥有自己的实验室后，他学会了如何利用旋涂技术来制造弯曲的薄膜——比如超薄的龟壳。  

有一天，他将其中一些弯曲的薄膜放在静止的水面上，并拍摄了它们是如何沉降在水面上的。“这纯粹是出于好奇”，他说。这些照片在2017年与Paulsen的一次非正式会议上引起了Tobasco的注意。

  “这些现象表明你可以得到这些随机无序的褶皱图案——当你把这个实验做上两次时，你会得到两种不同的图案，”Tobasco说，他现在是芝加哥伊利诺伊大学的助理教授。“我想看看我是否可以从弹性中提出一些结合外壳形状的可推导方法来预测那些图案，而且模型不会因壳而异。”  

Wrinkling patterns are configurations with the least possible energy.   起皱图案是能量最少的“方案”。也就是说，随着薄膜沉积在平坦的表面上，它会变形，直到找到需要最少能量来维持“褶皱”的一种排列，无论这个“褶皱”是否无序”，你可以通过图案显现时存储的能量来组织图案，”Tobasco说。  

在该指导原则的指引下，他总结了薄膜的一些特征，这些特征被证明是选择其图案模式的因素，包括一种称为高斯曲率（Gaussian curvature）的形状度量。具有正高斯曲率的表面会远离自身弯曲，就像球的外部一样。相反，负弯曲的表面是马鞍形的，就像一片薯片：如果你朝一个方向走，你会往上走，但如果你朝另一个方向走，你就会往下走。  

Tobasco发现正高斯曲率区域产生一种有序和无序区域的排列，而负曲率区域产生其他类型。“具体的几何形状并不那么重要”，Vella说。“因为这真的只取决于高斯曲率的符号。”  

取决于被弯折的方式，一个物体可以有正的或是负的高斯曲率。 而当物体被压平时，高斯曲率可以决定出现的褶皱形状



左为正高斯曲率，右为负高斯曲率

 

压平物体后褶皱的形状  

他们曾怀疑高斯曲率对起皱的重要性，但Vella表示，令他惊讶的是，褶皱区域竟然非常严重地依赖于符号。更重要的是，Tobasco的理论不仅仅适用于Paulsen的形式，也适用于更广泛的弹性材料。“这是一个很好的几何结构，可以显示褶皱出现的位置”，Vella说。“但理解它的来源真的很深刻，有点令人惊讶。”

Paulsen同意也这一点。  

“What Ian’s theory very beautifully does  is to give you the whole pattern, all at once.”              

Real-Life Wrinkles          

2018年初，Tobasco的理论已经基本完善了——但即使这一理论在纸上有效，他仍不能确定它在现实世界中是否准确。Tobasco联系了Paulsen，询问他是否有兴趣合作。“有些东西马上就奏效了”，Paulsen，“Ian的一些预测，放在实验图片之上，我们立即可以看到它们如此的吻合。”  

在当年的工业和应用数学学会材料科学数学方面的会议上，Tobasco被介绍给宾夕法尼亚大学的物理学家Eleni Katifori，他正在探索受限壳中的褶皱图形问题并建立一个结果数据库。这是一个偶然的机会。“我们可以看到Ian的工作在模拟中可以解释的现象，”她说。这种匹配是不可思议的。在他们的第一次讨论中，Tobasco的理论、Paulsen的实验图像和Katifori的模拟就描述了相同的现象。“即使在早期阶段当我们没有任何具体的东西时，我们也可以看到这种联系。”  

这种早期令人兴奋的实验结果很快引起了怀疑。这似乎好得令人难以置信。“他是一位数学家，他把所有这些东西都变成了无维度的，”Paulsen说，他指的是Tobasco关于曲率如何可以扩展到二维平面材料之外的想法。“我们真的在看同一个系统吗？结果表明如此，但结果应当是如此吗？”  

在接下来的两年里，三位研究人员对细节进行了讨论，表明Tobasco的理论确实——准确地——预测了Paulsen在他的实验中看到的褶皱排列，以及Katifori在她的计算机模型中发现的褶皱的排列。8月25日，他们在Nature Physics上发表了一篇论文，展示了这三种方法是如何汇聚在相同的、直接的褶皱几何排列上的。

值得注意的是，他们发现这些图案属于整齐的等腰三角形家族，这些三角形划分了有序和无序的领域。此外，结果不仅仅局限于在数学上抽象为薄到不能再薄的材料，并且同时也解决了厚度在不同数量级下的问题。  

他们的工作还为扩展该理论及其应用提供了机会。Katifori 说，作为一名物理学家，她有兴趣利用这些预测来设计新材料。“我想了解如何设计表面，以便它们可以自动组织将起皱的图案，使其成为你想要的东西。”  

另一个尚待解决的问题是该理论如何普遍地适用于不同类型的曲面。“这一理论的实践主要集中在 [高斯曲率] 为正或负的情况，但在很多情况下，曲面有些区域是正的，有些是负的，”Vella 说。Paulsen同意这是一个令人兴奋的可能性，Tobasco说他正在这个领域积极工作，并考虑其他形状的贝壳——比如那些有孔的贝壳。  

但Paulsen表示，即使就目前而言，这个理论也是美丽而令人惊讶的。“如果我给你一个壳和一个边界形状，以及Ian理论预测的这套简单规则，那么你可以拿一个指南针和尺子，基本上画出上面的褶皱”，他说，“你大可不必这样做，但这是可以做到的并且是非常令人震惊的。”  

审核编辑：刘清