详解：“史密斯圆图”是怎么“掰弯”的？

 

 

不管多么经典的射频教程，为什么都做成黑白的呢？让想理解史密斯原图的同学一脸懵逼。
 

这是什么东东？

 

 

今天解答三个问题：

1、是什么？

2、为什么？

3、干什么？

 

1、是什么？

该图表是由菲利普·史密斯(Phillip Smith)于1939年发明的，当时他在美国的RCA公司工作。史密斯曾说过，“在我能够使用计算尺的时候，我对以图表方式来表达数学上的关联很有兴趣”。

史密斯图表的基本在于以下的算式。

当中的Γ代表其线路的反射系数(reflection coefficient)

即S参数（S-parameter）里的S11，ZL是归一负载值，即ZL / Z0。当中，ZL是线路本身的负载值，Z0是传输线的特征阻抗（本征阻抗）值，通常会使用50Ω。

简单的说：就是类似于数学用表一样，通过查找，知道反射系数的数值。

 

2、为什么？

我们现在也不知道，史密斯先生是怎么想到“史密斯圆图”表示方法的灵感，是怎么来的。

很多同学看史密斯原图，屎记硬背，不得要领，其实没有揣摩，史密斯老先生的创作意图。

 

我个人揣测：是不是受到黎曼几何的启发，把一个平面的坐标系，给“掰弯”了。

我在表述这个“掰弯”的过程，你就理解，这个图的含义了。（坐标系可以掰弯、人尽量不要“弯”；如果已经弯了，本人表示祝福）

现在，我就掰弯给你看。

世界地图，其实是一个用平面表示球体的过程，这个过程是一个“掰直”。

 

史密斯原图，巧妙之处，在于用一个圆形表示一个无穷大的平面。

 

2.1、首先，我们先理解“无穷大”的平面。

首先的首先，我们复习一下理想的电阻、电容、电感的阻抗。

 

在具有电阻、电感和电容的电路里，对电路中的电流所起的阻碍作用叫做阻抗。阻抗常用Z表示，是一个复数，实际称为电阻，虚称为电抗，其中电容在电路中对交流电所起的阻碍作用称为容抗 ,电感在电路中对交流电所起的阻碍作用称为感抗，电容和电感在电路中对交流电引起的阻碍作用总称为电抗。 阻抗的单位是欧姆。

 

R，电阻：在同一电路中，通过某一导体的电流跟这段导体两端的电压成正比，跟这段导体的电阻成反比,这就是欧姆定律。

标准式： 。（理想的电阻就是 实数，不涉及复数的概念）。

 

如果引入数学中复数的概念，就可以将电阻、电感、电容用相同的形式复阻抗来表示。既：电阻仍然是实数R（复阻抗的实部），电容、电感用虚数表示，分别为：

 

Z= R+i( ωL–1/（ωC）)

说明：负载是电阻、电感的感抗、电容的容抗三种类型的复物，复合后统称“阻抗”，写成数学公式即是：阻抗Z= R+i(ωL–1/（ωC）)。其中R为电阻，ωL为感抗，1/（ωC）为容抗。

（1）如果(ωL–1/ωC) > 0，称为“感性负载”；

（2）反之，如果(ωL–1/ωC) < 0称为“容性负载”。

 

我们仔细看阻抗公式，它不再是一个实数。它因为电容、电感的存在，它变成了一个复数。

电路中如果只有电阻，只影响幅度变化。

我们通过上图，我们知道，正弦波的幅度发生了变化，同时，相位也发生了变化，同时频率特性也会变化。所以我们在计算的过程中，即需要考虑实部，也需要考虑虚部。

 

我们可以在一个复平面里面，以实部为x轴、以虚部为y轴，表示任意一个复数。我们的阻抗，不管多少电阻、电容、电感串联、并联，之后，都可以表示在一个复平面里面。

 

 在 RLC 串联电路中，交流电源电压 U = 220 V，频率 f = 50 Hz，R = 30 Ω，L =445 mH，C =32 mF。

在上图中，我们看到通过几个矢量的叠加，最终阻抗在复平面中，落在了蓝色的圆点位置。

所以，任意一个阻抗的计算结果，我们都可以放在这个复平面的对应位置。

各种阻抗的情况，组成了这个无穷大的平面。

 

2.2、反射公式

信号沿传输线向前传播时，每时每刻都会感受到一个瞬态阻抗，这个阻抗可能是传输线本身的，也可能是中途或末端其他元件的。对于信号来说，它不会区分到底是什么，信号所感受到的只有阻抗。如果信号感受到的阻抗是恒定的，那么他就会正常向前传播，只要感受到的阻抗发生变化，不论是什么引起的（可能是中途遇到的电阻，电容，电感，过孔，PCB转角，接插件），信号都会发生反射。 

 

钱塘江大潮，就是河道的宽度变化引起了反射，这跟电路中阻抗不连续，导致信号反射，可以类比。反射聚集的能量叠加在一起，引起的过冲。也许这个比喻不恰当，但是挺形象。

那么有多少被反射回传输线的起点？衡量信号反射量的重要指标是反射系数，表示反射电压和原传输信号电压的比值。

反射系数定义为：

 

其中：Z0为变化前的阻抗，ZIN为变化后的阻抗。假设PCB线条的特性阻抗为50欧姆，传输过程中遇到一个100欧姆的贴片电阻，暂时不考虑寄生电容电感的影响，把电阻看成理想的纯电阻，那么反射系数为：

信号有1/3被反射回源端。

如果传输信号的电压是3.3V电压，反射电压就是1.1V。 纯电阻性负载的反射是研究反射现象的基础，阻性负载的变化无非是以下四种情况：阻抗增加有限值、减小有限值、开路（阻抗变为无穷大）、短路（阻抗突然变为0）。 

 

初始电压，是源电压Vs（2V）经过Zs（25欧姆）和传输线阻抗（50欧姆）分压。

Vinitial=1.33V

后续的反射率按照反射系数公式进行计算

 

源端的反射率，是根据源端阻抗（25欧姆）和传输线阻抗（50欧姆）根据反射系数公式计算为-0.33；

终端的反射率，是根据终端阻抗（无穷大）和传输线阻抗（50欧姆）根据反射系数公式计算为1；

我们按照每次反射的幅度和延时，在最初的脉冲波形上进行叠加就得到了这个波形，这也就是为什么，阻抗不匹配造成信号完整性不好的原因。

 

那么我们做一个重要的假设！

为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Z0 (特性阻抗)通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。

 

假设Z0一定，为50欧姆。（为什么是50欧姆，此处暂时不表；当然也可以做其他假设，便于理解，我们先定死为50Ω）。

 

那么，根据反射公式，我们得到一个重要的结论：

每一个Zin对应唯一的 “Γ”，反射系数。

我们把对应关系描绘到刚刚我们说的“复平面”。

于是我们可以定义归一化的负载阻抗：


据此，将反射系数的公式重新写为：

 

好了，我们在复平面里面，忘记Zin，只记得z（小写）和反射系数“Γ”。

准备工作都做好了，下面我们准备“弯了”

 

 

 

2.3 掰弯

在复平面中，有三个点，反射系数都为1，就是横坐标的无穷大，纵坐标的正负无穷大。历史上的某天，史密斯老先生，如有神助，把黑色线掰弯了，把上图中，三个红色圈标注的点，捏到一起。

 

弯了，弯了

圆了，圆了。

完美的圆：

虽然，无穷大的平面变成了一个圆，但是，红线还是红线，黑线还是黑线。

同时我们在，原来的复平面中增加三根线，它们也随着平面闭合而弯曲。

黑色的线上的阻抗，有个特点：实部为0；（电阻为0）

红色的线上的阻抗，有个特点：虚部为0；（电感、电容为0）

绿色的线上的阻抗，有个特点：实部为1；（电阻为50欧姆）

紫色的线上的阻抗，有个特点：虚部为-1；

蓝色的线上的阻抗，有个特点：虚部为1；

线上的阻抗特性，我们是从复平面，平移到史密斯原图的，所以特性跟着颜色走，特性不变。

下半圆与上班圆是一样的划分。

因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的RF应用实例：

例： 已知特性阻抗为50Ω，负载阻抗如下：
 

Z1 = 100 + j50Ω	Z2 = 75 - j100Ω	Z3 = j200Ω	Z4 = 150Ω
Z5 = ∞ (an open circuit)	Z6 = 0 (a short circuit)	Z7 = 50Ω	Z8 = 184 - j900Ω

对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图5)：
 

z1 = 2 + j	z2 = 1.5 - j2	z3 = j4	z4 = 3
z5 = 8	z6 = 0	z7 = 1	z8 = 3.68 - j18

 

我们看不清上图。

 

如果是“串联”，我们可以在清晰的史密斯原图上，先确定实部（红线上查找，原来复平面的横坐标），再根据虚部的正负，顺着圆弧滑动，找到我们对应的阻抗。（先忽略下图中的绿色线）

 

现在可以通过圆图直接解出反射系数Γ。

 

我们既可以通过直角坐标，去直接读取反射系数的值，也可以通过极坐标，读取反射系数的值。

 

直角坐标

画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交点)，只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部Γr和虚部Γi (见图6)。

该范例中可能存在八种情况，在图6所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数Γ：

Γ1 = 0.4 + 0.2j	Γ2 = 0.51 - 0.4j	Γ3 = 0.875 + 0.48j	Γ4 = 0.5
Γ5 = 1	Γ6 = -1	Γ7 = 0	Γ8 = 0.96 - 0.1j

 
从X-Y轴直接读出反射系数Γ的实部和虚部

极坐标

极坐标表示，有什么用？非常有用，这其实也是史密斯原图的目的。

 

2.4  红色阵营VS绿色阵营

刚刚我们已经注意到，史密斯原图，除了有红色的曲线，是从阻抗复平面掰弯，过来的红色世界。同时，在图中，还有绿色的曲线，他们是从导纳复平面，掰弯产生的。过程跟刚刚的过程是一样的。

那么这个导纳的绿色，有什么用呢？

并联电路，用导纳计算，我们会很便利。同时在史密斯原图中，我们用导纳的绿色曲线进行查询，也会很方便。

如图，这样并联一个电容，通过绿色的曲线很快就可以查询到对应的归一化阻抗和反射系数。

 

3、干什么？

解释和介绍了史密斯圆图这么长的段落，别忘了，我们想干什么。我们实际是希望，我们设计的电路反射系数越接近0越好。

但是，什么样的电路是合格的电路呢？反射系数不可能理想的为0，那么我们对反射系数，有什么样的要求呢？

我们希望反射系数的绝对值小于1/3，即反射系数落入史密斯圆图的蓝色区域中（如下图）。

这个蓝色的球，有什么特色呢？其实我们通过史密斯原图的数值已经清楚的发现。在中轴线，也就是之前说的红线上，分别是25欧姆，和100欧姆两个位置。即：Zin在1/2 Zo和2倍Zo之间的区域。

也就是，我们打靶打在蓝色区域，即认为反射系数是可以接受的。

 

关于史密斯圆图还有很多有趣和有用的现象。欢迎大家留言探讨

 

审核编辑 ：李倩