边界层的理论及其特点

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   边界层理论的提出

        “边界层理论”的概念最早可以追溯到十九世纪时的流体力学。当时的理论流体力学从无粘不可压缩的欧拉方程进行推导，由于忽视粘性影响导致理论与实验结果存在明显的矛盾，难以解释管路压降等问题。在当时其实已经提出了有摩擦的纳维斯托克斯方程 ，但受限于数学水平无法求解方程，故理论与实际一直存在巨大误差。最后从实际出发发展出了水力学，通过实验数据避开了理论分析。

        在此基础上，普朗特 (Ludwig Prandtl) 提出了边界层的概念，在海德尔堡第三届国际数学家大会上发表了 “关于摩擦极小的流体运动” 一文。在该论文中，普朗特提出绕固体流动的流体可分为两个区域：

在物体表面很薄的一层，在其中粘性力起着重要作用

在该层外的主流区域，此处的摩擦可以忽略不记

        “边界层”这一理论的提出，极大化简了理论求解动量方程。

        后来，在实验中科学家们发现，边界层具有以下特点：

与物体特征长度相比，边界层厚度远小于特征长度；

边界层内存在很大的速度梯度；

边界层厚度随流动方向增加；

边界层各截面压强等同于主流上的压强；

边界层内粘性力与惯性力位于同一量级；

边界层有层流和紊流两种状态；

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   边界层方程组

        我们首先考虑二维定常不可压缩流动，规定沿流动方向为x轴，垂直壁面方向为y轴。

        我们可以得到连续方程：

        动量方程：

        边界条件：

        在经过边界层化简后，方程仍含有非线性项，在1907年，布拉修斯通过方程化简得到了著名的布拉修斯方程：

        1921年，冯·卡门提出了边界层动能积分方程以计算边界层问题，通过上述方法我们能对边界层方程进行求解。

边界层

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   分离和转捩

        “分离” 指的是 边界层出现脱离表面并回流 的现象。壁面对边界层的 粘性力 和与流动方向相反的 压差阻力 使得在物体某处的边界层发生分离，形成回流区，导致很大的能量耗散。这种分离有一些典型的例子，例如绕流过圆柱、圆球等钝头物体后的流动；角度大的锥形扩散管内的流动等等。当层流边界层在到达分离点前已转变为湍流时，由于湍流的强烈混合效应，分离点会后移。这样虽然增大了摩擦阻力，但压差阻力大为降低，从而减少能量损失。

        “转捩” 指的是 边界层内的流动状态发生变化 ，在低雷诺数时是 层流 ，在高雷诺数时是 紊流 。当粘性流体绕流物体时，在物体前缘附近的是层流。随着离前缘的距离的不断增加，雷诺数也逐渐加大，层流边界层流动随雷诺数增加会出现不稳定现象。流体中不可避免地存在着扰动，使层流发生变化，向紊流过渡，最终完全变成了紊流。层流向紊流的过渡称为转捩。

审核编辑：刘清