LTI连续系统的响应

LTI连续系统的响应

连续系统的描述：电路图建立微分方程

1.数学模型

二阶常系数线性微分方程

2.相似系统

相似系统：能用相同方程描述的系统

微分方程的模拟框图

基本部件：

基本运算：数乘、微分、相加

基本部件：加法器、数乘器、积分器

积分器的抗干扰性比微分器好(用积分器代替微分器)

2.模拟框图

模拟框图：将微分方程用基本部件的相互联接表征出来的图，简称框图。

例1 已知y’’(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画出框图。

解：将方程改写为 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)

绘制步骤为：

(1)画出两个积分器；

(2)以最后一个积分器的输出端为y(t)；

(3)左边第一个积分器的输入端就是y”(t)，也是加法器的输出。

例2 已知y“（t） + 3y'（t）+ 2y（t） = 4f'（t） + f（t），画框图。

解：该方程右端含f(t)的导数，引入辅助函数画出框图。 设辅助函数x(t)满足

x“（t） + 3x'（t）+ 2x（t） = f（t）

移项整理得： x”(t) = -3x’(t)-2x(t) + f(t)

 

根据求和器列方程

微分方程的经典解法

经典解

齐次解是对应齐次微分方程的解：

特解的函数形式与激励的函数形式有关。

2.齐次解的常用函数形式

不同特征根所对应的齐次解

3.特解的常用函数形式

不同激励所对应的特解

 

 

上式第一项系数C1 + Q0= 2，不能区分C1和Q0。

连续系统的初始值

 

 

结论：微分方程等号右端含有δ(t)时，仅在等号左端y(t)的最高阶导数中含有δ(t)，则y(t)的次高阶跃变，其余连续； 若右端不含冲激函数，则不会跃变。

零输入响应

求解步骤

(1)设定齐次解；

(2)代入初始值，求待定系数

零状态响应

求解步骤

(1)设定齐次解；

(2)设定特解，代入方程求解；

(3)代入初始值，求待定系数。

 

响应分类

固有响应和强迫响应

固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关。

齐次解的函数形式仅与特征方程的根有关，特征方程的根称为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应。

强迫响应与激励的函数形式有关。

特解的函数形式与激励的函数形式有关，常称为强迫响应。

暂态响应和稳态响应

暂态响应是指响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。

稳态响应是稳定的分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数。 比如，电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应。

 

Matlab求解系统的响应

求LTI系统的零状态响应的函数lsim，其调用格式为:

y=lsim（sys， f， t）

式中，t表示计算系统响应的抽样点向量； f是系统输入信号，sys是LTI系统模型，用来表示微分方程。

系统模型sys要借助tf函数获得，其调用方式为:

sys=tf（b， a）

式中，b和a分别为微分方程的右端和左端各项的系数。 比如：