数字电路基础知识之数值表示 、进制转换

01数值表示：

在计算机系统中，要表示一个数，原则上我们可以使用任意进制来描述，但在实际应用中一般用二进制、八进制、十进制、十六进制来表示一个数。

二进制表示一个数只能用0、1两个数字来表示，比如10011（十进制是19）；

八进制表示一个数只能用0~7八个数字来表示，比如017（十进制是15）. 八进制通常以0开头，用来区分十进制；

十进制表示一个数只能用0~9十个数字来表示，这是平时经常用的，比如100

十六进制表示一个数只能用09，AF这16个数字来表示，其中A~F换成10进制就是10-15，十六进制通常以0x开头，用来区分十进制。比如0x1f（十进制是31）

通过上面的介绍，我们也可以看出，N进制表示一个数，可以用0~N之间的N个数字来表示，N进制表示的数，转换成十进制的方法如下：

数字的值*N（（数字所在位置-1）次方）

比如六进制表示一个数125，那么如何算这个数的十进制表示的值呢？换算方法如下：

1（6的2次方）+2*（6的一次方）+5*（6的0次方） = 53

02

进制转换

上面介绍了一个数值如何用进制来表示，对同一个数值而言，可以用多种进制来表示，进制之间可以相互转换。在实际应用中，N进制换算成M进制，我们一般会先从N进制换算到十进制，再从十进制换算到M进制。下面我们通过一些例子来说明进制之间如何转换。

01

十进制转二进制

把该十进制数，用二因式分解，取余。

以235为例，转为二进制

235除以2得117，余1

117除以2得58，余1

58除以2得29，余0

29除以2得14，余1

14除以2得7，余0

7除以2得3，余1

3除以2得1，余1

从得到的1开始写起，余数倒排，加在它后面，就可得11101011。

02

**十进制转八进制

**

把该十进制数，用8因式分解，取余。

以100为例，转为八进制

100除以8得12，余4

12除以8得1，余4

1除以8得0，余1

转成八进制就是0144

03

**二进制转十进制

**

二进制转为十进制要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方。

以二进制数10101为例

• 1 （2的4次方）+1* （2的2次方） + 1*（2的0次方） = 21**

03

小数的表示方法

一个数会包含整数部分和小数部分，上面章节已经讲述了整数部分如何表示，本小结介绍一下小数部分是如何表示的。

• 实数A可以用二进制表示为（An (2* N) + An-1 (2 (N-1)）+…+A2 * 2(* 2) + A1 (2* 1) + A0+ A-1(2* (-1) )+ A-2(2**(-2)) +……）.**

从上面可以看到，小数部分就是2的负幂次方多项式构成，因此小数的数值用二进制表示就是从高到底依次为A-1A-2A-3A-4….

用多项式描述一个数，可以看到存在一个问题就是小数部分存在无法精确表示的问题，比如0.6 这个小数数值，如果用二进制的话，2的负幂次方多项式只能无限接近，但无法等于0.6。

十进制的小数数值用二进制来表示方法：

将该数字乘以2，取出整数部分作为二进制表示的第1位；然后再将小数部分乘以2，将得到的整数部分作为二进制表示的第2位；以此类推，知道小数部分为0。举例如下：

十进制0.4转成二进制：

0.4 * 2 = 0.8 整数部分是0

0.8 * 2 = 1.6 整数部分是1

0.6 * 2 = 1.2 整数部分是1

0.2 * 2 = 0.4 整数部分是 0

可以看到进入循环了，因此0.4的二进制表示为0110 0110 0110 …..

二进制小数转成十进制方法：

按位乘以权重，然后相加。二进制小数点后第1位乘以2^（-1）,第2位乘以2^（-2）

以此类推，然后相加即可

**例如：0.101——>12^（-1）+02^（-2）+1*2^（-3）=0.5+0+0.125=0.625**

十进制小数数值转成其他进制也是类似的，所有的原理都是一个实数可以用一个多项式来表示，正数次幂部分代表的是整数部分，负数次幂部分代表的是小数部分。

04

有符号数和无符号数

从底层硬件来讲，存储的都是0/1这样的状态，本是是没有有符号和无符号之分的。但计算机应用时，根据描述现实世界的需求，可以在软件中指定这个变量是有符号变量还是无符号变量，从而这个变量的数值是有符号数值还是无符号数值。因此这两个定义其实是计算机应用的范畴。

有符号和无符号数，简单的区别就是，无符号数所有的位都是用来表示一个数，有符号数最高位用来表示符号位，其他位用来表示实际的数值。对于某一个具体的数值，不管是有符号表示还是无符号表示，它的二进制表示都是一样的。

在8位机的系统中，地址和数据总线是8bit的，无符号变量表示的值的范围是0255，有符号变量表示的值的范围是-128127

另外还有一点，如果一个数值声明为有符号数，那么最高位是bit位，这是按照二进制表示这个数值之后的最高位，其实在计算系统里面，比如有8位机，16位机，32位机，64位机，一个数的最大位宽也就上面对应的bit数， 如果某个数标识为有符号数，那么对应第7bit, 15bit,31bit,63bit就是符号位。

05

原码反码补码

这三个概念其实都是对有符号数来讲的，无符号数不存在上面这些概念。

这些概念都是为了在计算机系统中描述一个负数而创建的，通过这些概念扩展二进制数字系统，从而可以表示有符号数。

正数的原码、反码、补码都是一样的。

负数的原码就是符号位为1，其余位表示真值，举例如下（8位机）：

-2的原码就是1000_0010(高位符号位为1，其余位是2)

负数的反码其实是在原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反，举例如下（8位机）：

-2的反码就是1111_1101(在-2的原码上，符号位不变，其他位取反)

负数的补码是反码+1，举例如下（8位机）：

-2的补码就是1111_1110(在-2的反码上加1)

所以我们这里讲这三个概念，有一个大前提就是，要明确好当前这个系统是多少bit的系统，这样才能确定符号位是哪bit。