双视图几何：你真的理解吗？

 01  前言伯克利的马毅教授在线上开展了为期 2 周的暑期课程，课程主讲 3D视觉，课程涉及内容十分丰富，受限于版权原因可能不会公开，所有内容都可以在马老师的 «An invitation to 3D vision» 一书中进行深入了解。本篇博客重点解读 Two View Geometry 的部分内容，这也是马老师重点强调的内容。其实这部分内容在大多数课程和教材中都有涉及，很多人可能也觉得很简单，有一定的套路可言，但是如标题所说，你真的理解Two View Geometry吗?笔者曾面试过 DJI 以及 Nreal 两家很棒的公司，面试时都问到了这一部分，当时还觉得自己答得不错，但是听过马老师的课程之后发现，其实我也并不是很了解 Two View Geometry。接下来我会依据马老师的课件以及教材详细介绍 Two View Geometry， 在这之后的下一篇博客我会介绍一篇 CVPR 2021 的工作 Deep Two-View Structure-from-Motion Revisited，下面进入正式内容。02  Traditional Two View Geometry下面这张图是一个 Geometric Vision 的简略回顾：大致历程是：从双视图，到三视图四视图，再到统一的多视图。内容我们只涉及双视图的，按照书中的标题来说就是：Reconstruction from Two Calibrated Views. 所要做的事情就是，给定两张同一场景不同视角下拍摄到的图像，恢复出相机的位姿以及场景的结构。我们假设先前的预备工作已经准备充分，相机已经标定完成，correspondence 也已经匹配完成，那么不失一般性的可以用下面这个等式来进行表述：这里分别表示视角 1 以及视角 2 下，对空间中同一个点的观测，这里是使用归一化平面坐标进行表达， 表示 对应的深度值，表示从视角 1 到视角 2 的 Rigid Body Motion。所谓恢复 motion 以及 structure 就是计算深度 以及变换。(1)式在有多次观测时， 是一直变化的，而相机运动却是始终不变的，为了追求统一，虽然说法有些哲学 (玄学)，但是道理就是这么个道理，我们需要同时叉乘T ，消去场景结构带来的影响，然后就得到了著名的 Epipolar Geometry:我们把 这个矩阵用表示，并称之为Essential matrix. 这是Longuet-Higgins 在 1981 年发现的，感谢前人贡献。正如推导过程所阐述的，(2)式只与相机的运动有关, right? 并且因为(2)式右边为 0，说明这是一个齐次等式，乘以任意的常数依然正确，而 是观测，，因此常数只能给，这也符合我们的常识，即单目相机没有办法恢复尺度。但是没有关系，we only care about the direction!对极几何还表达了一个重要的属性就是 3 点共面，表示了这个平面的法向量，right？所以在什么情况下，法向量与点乘为0呢？只能是共面。可以看到，代数与几何是统一的，你甚至可以直接根据几何写出(2)式。对极几何的表达十分简洁，并且有许多有趣的性质：我们来稍加解读。按照上面的说法，对极几何其实表达的是三点共面，三个点会形成一个三角形，从而确定一个平面，不论空间点怎么变，这条边是不变的。在几何层面，线和面不平行就会产生交点，我们称成像平面与的交点为 Epipoles：类似的你可以了解 Epipolar line 的定义。具体的性质可以参考马老师的书，这里我简单描述一下，是极线，但是我们选择用三角形平面的法向量去描述极线，因为法向量确定了极线就唯一确定了。剩下的挨个理一下就通了。接下来难度会提升一些。对极几何很美，如何解呢？这个方程是 homo- geneous 的，因此E的自由度为最多为 8，事实上我们知道实际自由度是 5（旋转矩阵的自由度为 3，不考虑尺度因素，平移向量的自由度为 2），但是暂且不考虑这个。因此如果给定8对 correspondence（这里我们不考虑共线共面以及其他的corner case），至少E可以解出。接下来会面对两个问题：1. 怎么解呢?2. 假设你知道怎么解出，而实际应用中，我们的correspondence都是很 noise 的，这样得到的解也是带噪声的，那么如何把噪声去掉，得到一个干干净净的Essential Matrix呢?带着这些问题继续往下走。我们通过 8 个点对，解出的矩阵记作，首先有一点你要了解，不是任何 3 × 3 的矩阵都能分解为这种形式的，的自由度是 6，如果 up to scale 的话，自由度则是 5，并且包含一个 的旋转矩阵部分，因此也是一个 special group，有其对应的空间 (essential space)，或者说 5 维的流形上 (essential manifold)，当有噪声时，得到的解会在这个空间外。为了便于表达，我们引入 normalized essential matrix 来消除尺度的干扰:在后文我们提到的不特殊说明都指的是 normalized essential matrix.我们希望能在 essential space 中找到一个距离F最“近”的解，然后将F投影到这个解上，如下图所示：在说明怎样投影前，我们需要先给出三个定理：定理一描述了一个矩阵为 Essential Matrix 的充要条件。定理二描述了如何从 Essential Matrix 恢复到旋转矩阵以及平移方向向量。这里需要注意的是，normalized essential matrix 可以消除尺度的干扰，但是不能消除符号的干扰，代数角度而言，E 和 −E 都满足Epipolar Constraint，因此实际我们能得到四组解。定理三给出了投影的方法，我们选择F-norm作为投影距离的度量指标。这里需要注意的是，的SVD分解得到的只满足正交性，不能满足行列式为+1的条件，当得到的行列式为−1时，我们会对其取负，在后面我们会用代码具体解释。以上三个定理在马老师的书里都有详细证明，出于易读性的考虑后续会单独的整理到我的知乎上分享。在有了这三个定理之后，整个算法也就明朗了，流程如下：以上就是著名的八点法，你可以在许多资料上看到这个过程，本文的主要目的是梳理八点法的一些思路。我们引用一段 colmap 中的源码来解读上述过程:

void DecomposeEssentialMatrix (
const Eigen : : Matrix3d& E, Eigen : : Matrix3d∗ R1, 
Eigen : : Matrix3d∗ R2, Eigen : : Vector3d∗ t )
{
// 根据对极约束得到的带噪声的E做SVD分解 
          Eigen::JacobiSVD svd(
          E, Eigen : : ComputeFullU | Eigen : : ComputeFullV ) ; 
          Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU(); 
          Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV().transpose();


// 保证行列式符号为正
if (U.determinant() < 0) {
                  U ∗= −1;
          }
if (V.determinant() < 0) {
                  V ∗= −1;
          }


          Eigen : : Matrix3d W;
          W<< 0, 1, 0, −1, 0, 0, 0, 0, 1;


          ∗R1 = U ∗ W ∗ V; 
          ∗R2=U∗W.transpose() ∗V; 
          ∗t = U. col (2). normalized ();
}


void PoseFromEssentialMatrix ( const Eigen : : Matrix3d& E, 
const std : : vector& points1 ,
const std : : vector& points2 ,
Eigen : : Matrix3d∗ R, Eigen : : Vector3d∗ t ,
std : : vector∗ points3D ) { 7
CHECK_EQ(points1 . size () , points2 . size ());


Eigen::Matrix3d R1;
Eigen::Matrix3d R2; 
DecomposeEssentialMatrix(E, &R1, &R2, t );


// Generate all possible projection matrix combinations.
const std : : array R_cmbs{{R1, R2, R1, R2}}; 
const std : : array t_cmbs{{∗t , ∗t , −∗t , −∗t }};
...
}

这里为什么取的最后一行可以留给读者作为一个思考题，提示是 ，然后分析一下矩阵的秩。八点法十分简洁 (当然证明过程比较复杂)，但是在实际使用过程中，还是会遇到许多问题的，我们在以下简要列举：1. Number of points. 由于 Normalized Essential Matrix 的自由度为 5，在比较 general 的情况下，最少选取的 correspondence 点对为 5（Kruppa在 1913 年的时候给出了五点法，类似八点法会产生 4 个满足对极约束的解，五点法会产生 10 个解），因此选取多少点是一个需要实际使用中考虑的问题。2. Number of solutions and positive depth constraint. 虽然八点法给出了四对解，但是实际上只有一个正确解，那么其他三个解怎么排除呢?首先从代数层面，不要忘了最原始的表达式，在这个表达式中隐藏了一个很关键的约束，深度值应该为正，至于怎么求深度值是三角化部分的知识了，我们不在这里讨论，如果你对上述过程熟悉，不难发现就是一个叉乘的技巧。基于这一约束我们可以将正确的解筛选出来。而从几何层面来看，就是下面这张图 （From Multiple View Geometry in Computer Vision）：3. Structure requirement: general position.当观测到的空间点满足某些导致退化的条件时 (called critical surfaces)，使用八点法会遇到解不唯一的情况。一个典型的例子就是观测点共面的情况，这种时候我们需要使用homography 来解决。4. Motion requirement: sufficient parallax.也就是说，平移量不能为0(为0时也要使用 homography)。需要十分小心的是，在没有平移移动且匹配十分 noise 的时候，八点法依旧会得到一个很奇怪的平移部分的解，而这个解是毫无意义的。5. Multiple motion hypotheses.运动物体场景，这又是另一个问题了。03  结语Essential Matrix 之所以叫 Essential Matrix，就是因为它太重要了, 马老师花了4节课的时间，介绍two view geometry的内容, 可见其重要性。目前学术的研究主要在于recognition的问题了，也有许多工作还是聚焦在end to end的执着，当然这只是我个人的一些粗浅的看法。审核编辑 ：李倩   

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