深度学习算子优化之FFT

在数字信号和数字图像领域，对频域的研究是一个重要分支。

我们日常“加工”的图像都是像素级，被称为是图像的空域数据。空域数据表征我们“可读”的细节。如果我们将同一张图像视为信号，进行频谱分析，可以得到图像的频域数据。观察下面这组图，频域图中的亮点为低频信号，代表图像的大部分能量，也就是图像的主体信息。暗点为高频信号，代表图像的边缘和噪声。从组图可以看出，Degraded Goofy 与 Goofy 相比，近似的低频信号保留住了 Goofy 的“轮廓”，而其高频信号的增加使得背景噪点更加明显。频域分析使我们可以了解图像的组成，进而做更多的抽象分析和细节处理。

Goofy and Degraded Goofy

实现图像空域和频域转换的工具，就是傅立叶变换。由于图像数据在空间上是离散的，我们使用傅立叶变换的离散形式 DFT（Discrete Fourier Transform）及其逆变换 IDFT（Inverse Discrete Fourier Transform)。Cooley-Tuckey在DFT的基础上，开发了更快的算法 FFT（Fast Fourier Transform）。

DFT/FFT在数字图像领域还有一些延伸应用。比如基于 DFT 的 DCT（Discrete Cosine Transform，离散余弦变换）就用在了图像压缩JPEG算法和图像水印算法。

JPEG 编码是通过色彩空间转换、抽样分块、DCT 变换、量化编码实现的。其中 DCT 变换的使用将图像低频信息和高频信息区分开，在量化编码过程中压缩了少量低频信息、大量高频信息从而获得尺寸上压缩。从猫脸图上可看出随着压缩比增大画质会变差，但是主体信息还是得以保留。

图像水印算法通过 DCT 将原图转换至频域，选取合适的位置嵌入水印图像信息，并通过 IDCT 转换回原图。这样对原图像的改变较小不易察觉，且水印通过操作可以被提取。

DFT/FFT 在深度学习领域也有延伸应用。比如利用 FFT 可以降低卷积计算量的特点，FFT_Conv 算法也成为常见的深度学习卷积算法。本文我们就来探究一下频域算法的原理和优化策略。

DFT的原理及优化

公式

无论是多维的 DFT 运算，还是有基于 DFT 的 DCT/FFT_Conv, 底层的计算单元都是 DFT_1D。因此，DFT_1D 的优化是整个FFT类算子优化的基础。

DFT_1D 的计算公式： 其中 为长度为 N 的输入信号， 是 1 的 N 次根， 为长度为N 的输出信号。

该公式的矩阵形式为：

单位复根的性质

DFT_1D 中的 是 1 的单位复根。直观地看，就是将复平面划分为 N 份，根据 k * n 的值逆时针扫过复平面的圆周。

单位复根有着周期性和对称性，我们依据这两个性质可以对W矩阵做大量的简化，构成 DFT_1D 的快速算法的基础。

周期性：

对称性：

Cooley-Tuckey FFT算法

DFT_1D 的多种快速算法中，使用最频繁的是 Cooley-Tuckey FFT 算法。算法采用用分治的思想，将输入尺寸为 N 的序列，按照不同的基 radix，分解为 N/radix 个子序列，并对每个子序列再划分，直到不能再被划分为止。每一次划分都可以得到一级 stage，将所有的级自下而上组合在一起，计算得到最后的输出序列。

这里以 N = 8， radix=2 为例展示推理过程。

其中 为N=8 的序列， 为 DFT 输出序列.

根据 DFT 的计算公式：

根据奇偶项拆开，分成两个长度为 4 的序列 。

的 DFT 结果 乘以对应的旋转因子 ，进行简单的加减运算可以得到输出 。

同理, 对 也做一样的迭代， 都是 N=2 的序列，用他们的 DFT 结果进行组合运算可以得到 。

计算 N=2 的序列 , 因为 ，旋转因子 。只要进行加减运算得到结果。

用算法图形表示，每一层的计算会产生多个蝶形，因此该算法又被称为蝶形算法。

这里我们要介绍碟形网络的基本组成，对下文的分析有所帮助。

N=8 碟形算法图

N=8 的计算序列被分成了 3 级，每一级 (stage) 有一个或多个块 (section)，每个块中包含了一个或者多个蝶形（butterfly) , 蝶形的计算就是 DFT 运算的 kernel。

每一个 stage 的计算顺序：

• 取输入
• 乘以转换因子
• for section_num, for butterfly_num，执行radixN_kernel
• 写入输出

看 N=8 的蝶形算法图，stage = 1 时，运算被分成了 4 个 section，每个section的 butterfly_num = 1 。stage = 2 时， section_num = 2，butterfly_num = 2。stage = 3时， section_num = 1， butterfly_num = 4。

可以观察到，从左到右过程中 section_num 不断减少， butterfly_num 不断增加，蝶形群在“变大变密”，然而每一级总的碟形次数是不变的。

实际上，对于长度为 N ，radix = r 的算法，我们可以推得到：

为当前的 ，* sec/butterfly_stride 是每个section/butterfly* 的间隔。

这个算法可以将复杂度从 O(n^2) 下降到 O(nlogn)，显得高效而优雅。我们基于蝶形算法，对于不同的radix进行算法的进一步划分和优化，主要分为radix - 2 的幂次的和 radix – 非 2 的幂次两类。

radix-2 的幂次优化

DFT_1D 的 kernel 即为矩阵形式中的 矩阵，我们对 radix_2^n的 kernel 进行分析。

背景里提到， DFT 公式的矩阵形式为：

其中 ~ 为乘以旋转因子 后的输入

当 radix = 2 时，由于 , radix_2 的 DFT 矩阵形式可以写为：

当 radix = 4 时，由于 ，radix_4的DFT 矩阵形式可以写为：

同理推得到 radix_8 的 kernel 为：

我们先来看访存, 现代处理器对于计算性能的优化要优于对于访存的优化, 在计算和访存相近的场景下， 访存通常是性能瓶颈。

DFT1D 中，对于不同基底的算法 r-2/r-4/r-8, 每一个 stage 有着相等的存取量: 2 * butterfly_num * radix = 2N, 而不同的基底对应的 stage 数有着明显差异（ vs vs )。

因此对于 DFT , 在不显著增加计算量的条件下， 选用较大的kernel会在访存上取得明显的优势。观察推导的 kernel 图， r-2 的 kernel 每个蝶形对应 4次访存操作和，2 次复数浮点加减运算。r-4 的 kernel 每个蝶形算法对应 8 次 load/store、8 次复数浮点加减操作（合并相同的运算），在计算量略增加的同时 stage 由 下降到 , 降低了总访存的次数， 因此会有性能的提升。r-8 的 kerne l每个蝶形对应 16 次load/store、24 次复数浮点加法和8次浮点乘法。浮点乘法的存在使得计算代价有所上升， stage由 进一步下降到 ，但由于 N 日常并不会太大， r-4 到 r-8 的stage 减少不算明显，所以优化有限

我们再来看计算的开销. 减少计算的开销通常有两种办法：减少多余的运算、并行化。

以 r-4 算法为例, kernel 部分的计算为：

• radix_4_first_stage(src, dst, sec_num, butterfly_num)
• radix_4_other_stage(src, dst, sec_num, butterfly_num)
• for Sec_num
• for butterfly_num
• raidx_4_kernel

radix4_first_stage 的数据由于 k=0, 旋转因子都为 1 ，可以省去这部分复数乘法运算,单独优化。radix4_other_stage 部分， 从第 2 个 stage 往后， butterfly_num = 4^(s-1) 都为 4 的倍数，而每个 butterfly 数组读取/存储都是间隔的。可以对最里层的循环做循环展开加向量化，实现 4 个或更多 butterfly 并行运算。循环展开和SIMD指令的使用不仅可以提高并行性， 也可以提升cacheline 利用的效率, 可以带来较大的性能提升。以SM8150(armv8) 为例，r-4 的并行优化可以达到 r2 的 1.6x 的性能。

尺寸：1 * 2048（r2c) 环境：SM8150大核

总之，对于 radix-2^n 的优化，选用合适的 radix 以减少多 stage 带来的访存开销，并且利用单位复根性质以及并行化降低计算的开销，可以带来较大的性能提升。

radix-非2的幂次优化

当输入长度 N = radix1^m1 * radix2^m2… 且 radix 都不为 2 的幂次时，如果使用 naive的O(n^2) 算法， 性能就会急剧下降。常见的解决办法对原长补 0、使用 radix_N 算法、特殊的 radix_N 算法(chirp-z transform)。补0至2的幂次方法对于大尺寸的输入要增加很多运算量和存储量， 而chirp-z transform 是用卷积计算DFT， 算法过于复杂。因此对非 2 的幂次radix-N 的优化也是必要的。

radix-N 计算流程和 radix-2 幂次一样，我们同样可以利用单位复根的周期性和对称性，对 kernel 进行计算的简化。以 radix-5 为例，radix-5 的DFT_kernel 为：

在复平面上根据x轴对称，有相同的实部和相反的虚部。根据这个性质。如下图所示，对于每一个 stage，可以合并公共项A，B，C，D，再根据公共项计算出该 stage 的输出。

这种算法减少了很多重复的运算。同时，在 stage>=2 的时候，同样对 butterfly 做循环展开加并行化，进一步减少计算的开销。

radix-5 的优化思想可以外推至 radix-N 。对于 radix_N 的每一个 stage,计算流程为：

• 取输入
• 乘以对应的转换因子
• 计算公共项， radix_N 有 N-1个公共项
• 执行并行化的 radix_N_kernel
• 写入输出

其他优化

上述两个章节描述的是 DFT_1D 的通用优化，在此基础上还可以做更细致的优化，可以参考本文引用的论文。

• 对于全实数输入的，由于输入的虚部为 0， 进行旋转因子以及radix_N_kernel 的复数运算时会有多余的运算和多余的存储， 可以利用 split r2c 算法， 视为长度为 N/2 的复数序列， 计算 DFT 结果并进行 split操作得到 N 长实数序列的结果。
• 对于 radix-2 的幂次算法， 重新计算每个 stage 的输入/输出 stride 以取消第一级的位元翻转可以进一步减少访存的开销。
• 对于 radix-N 算法， 在混合基框架下 N = radix1^m1 * radix2^m2， 合并较小的 radix 为大的 radix 以减少 stage。

DFT 延展算法的原理及优化

DCT 和FFT_conv 两个典型的基于 DFT 延展的算法，DFT_1D/2D 的优化可以很好的用在这类算法中。

DCT

DCT算法（Discrete Cosine Transform， 离散余弦变换）可以看作是 DFT 取其正弦分量并经过工业校正的算法。DFT_1D 的计算公式为：

该算法naive实现是 O(n^2) 的，而我们将其转换成 DFT_1D 算法，可以将算法复杂度降至 O(nlogn )。

基于 DFT 的 DCT 算法流程为：

• 对于 DCT 的输入序列 x[n], 创建长为 2N 的输入序列 y[n] 满足 y[n] = x[n] + x[2N-n-1], 即做一个镜像对称。
• 对输入序列 y[n] 进行 DFT 运算，得到输出序列 Y[K]。
• 由 Y[K] 计算得到原输入序列的输出 X[K] 。

我们尝试推导一下这个算法：

对 y[n] 依照 DFT 公式展开，整理展开的两项并提取公共项 , 根据欧拉公式和诱导函数，整理非公共项 。可以看出得到的结果正是 x[k] 和与 k 有关的系数的乘积。这样就可以通过先计算 得到 x[n] 的 DCT 输出 。

在理解算法的基础上，我们对 DFT_1D 的优化可以完整地应用到 DCT 上。DCT_2D 的计算过程是依次对行、列做 DCT_1D, 我们用多线程对 DCT_1D 进行并行，可以进一步优化算法。

FFT_conv

Conv 是深度学习最常见的运算，计算conv常用的方法有 IMG2COL+GEMM， Winograd， FFT_conv。三种算法都有各自的使用场景。

FFT_conv 的数学原理是时域中的循环卷积对应于其离散傅里叶变换的乘积. 如下图所示， f 和 g 的卷积等同于将 f 和 g 各自做傅立叶变幻 F，进行点乘并通过傅立叶逆变换计算后的结果。

直观的理论证明可下图。

将卷积公式和离散傅立叶变换展开， 改变积分的顺序并且替换变量， 可以证明结论。

注意这里的卷积是循环卷积， 和我们深度学习中常用的线性卷积是有区别的。利用循环卷积计算线性卷积的条件为循环卷积长度 L⩾| f |+| g |−1。因此我们要对 Feature Map 和 Kernel做zero-padding，并从最终结果中取有效的线性计算结果。

FFT_conv 算法的流程：

• 将 Feature Map 和 Kernel 都 zero-pad 到同一个尺寸,进行 DFT 转换。
• 矩阵点乘
• 将计算结果通过 IDFT 计算出结果。

该算法将卷积转换成点乘， 算法复杂度是 O(nlogn),小于卷积的 O(n^2), 在输入的尺寸比较大时可以减少运算量，适用于大 kernel 的 conv 算法。

深度学习计算中， Kernel 的尺寸要远小于 Feature Map， 因此 FFT_conv第一步的 zero-padding 会有很大的开销，参考论文2里提到可以通过对 Feature map进行分块， 分块后的 Feature Map 和 Kernel 需要 padding 到的尺寸较小，可以大幅减小这一部分的开销。优化后 fft_conv 的计算流程为：

• 合理安排缓存计算出合适的tile尺寸，对原图进行分块
• 分块后的小图和 kernel 进行 zero-padding , 并进行 DFT 运算
• 小图矩阵点乘
• 进行逆运算并组合成大图。

同时我们可以观察到，FFT_conv 的核心计算模块还是针对小图的 DFT 运算， 因此我们可以将前一章节对 DFT 的优化代入此处，辅以多线程，进一步提升 FFT_Conv 的计算效率。