多传感器特征融合—匈牙利匹配算法原理

描述

最近在做特征级别的感知结果融合算法。我的工作目的，是要将多种不同传感器的感知结果，通过一定的机制融合起来，得到融合后的感知结果。

为此看了一些资料，了解到Apollo中使用了匈牙利匹配算法，之前不懂就学习了一下。

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匈牙利算法（Hungarian Algorithm），该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法，是一种能够在多项式时间内解决分配问题的组合优化算法。

网上有些作者比喻得很贴切，一句话先简单理解下匈牙利算法吧：有100个男人和100个女人，使用匈牙利算法可以凑出更多的夫妻（一男一女…）。

为了更深的理解算法是如何运行的，我们需要补充一些图论知识：比如，什么是二分图，什么又是增广矩阵，等等。（图论中非相关知识自行学习）

二、算法所需的图论知识

二分图

一个图中的所有顶点可划分为两个不相交的集合 U 和 V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图，又称二部图。

“这个二分图可以理解为某个世界，在该世界中人非男即女。那么每个人其实都是这个图中的一个顶点，男人集合和女人集合彼此割裂，男人就是男人，女人就是女人，男人可以和女人结合，这实际上就是一个二分图。”

匹配

二分图中的一个匹配，就是此时二分图中一些边的集合，这个边集合中的任意两条边没有公共的顶点，也构不成一个圈。

“100个男人和100个女人组成的二分图中，如果可以任意结婚，那么就会有很多种结婚组合。我们把其中的一种结婚组合的可能性，称为一次匹配。在这次匹配中，任意一对夫妻都是合法夫妻，没有任何性别的第三者存在哈哈。”

最大匹配

一个图的所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。最大匹配数，就是最大匹配时边的数目。

“100个男人和100个女人，在平行时空下肯定有很多种结婚的组合啊，也就是有很多种匹配。

那么，在所有匹配中，结婚对数最多的那次匹配，就是这个二分图的最大匹配。匈牙利算法是个月老和丘比特，他的目标就是要凑出最多的新人”

完美匹配

如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

“100个男人和100个女人，每个男人都和一个女人结婚了，而且他们都是没有重婚罪的合法夫妻，这就是这个图的完美匹配。显然，这是一次最大匹配了。

如果100个男人和99个女人构成的二分图，即使匈牙利算法再厉害，也还是会有个单身狗，并不存在完美匹配。”

三、算法原理

匈牙利算法有两个重要概念，先介绍一下。

交错路径

给定图G的一个匹配M，如果一条路径的边交替出现在M中和不出现在M中，我们称之为一条M-交错路径。

增广路径

如果一条M-交错路径，它的两个端点都不与M中的边关联，我们称这条路径叫做M-增广路径。增广路径有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。

我画了一幅图，我们有一幅8个顶点构成的图G。其中有一种匹配，是图中的黑线表示的2和4两条边，这两条边加上8个顶点，构成了图G的一种匹配M。

为了方便理解，我将图中的8个顶点按照二分图进行划分，绿色点表示男人，黄色点表示女人。

显然匹配M的意思就是，8个人中，由边2和边4代表的两对男女结成了夫妻。

按照交错路径的概念，1234、2345、12345都是M-交错路径（123456都不是，因为5和6均不在匹配M中，01234同理），而在这三个交错路径中，只有12345才是M-增广路径。那么，找出匹配M的增广路径意义合在呢？

我们会发现，在路径12345中，还存在着另外一种匹配1、3、5，它的匹配数是3，要大于匹配M的匹配数2。

那么我们就得到了新的一个匹配N，它比匹配M更优。按照同样的方式，我们来寻找N-增广路径，会发现0123456是匹配N的增广路径，它的匹配数是4。

因此图G的最大匹配，实际上是由0、2、4、6等四条边构成的匹配。

因此，研究增广路径的意义就是改进匹配模式，只要把增广路径中的匹配边和非匹配边的身份交换就可以了。身份交换后，图中的匹配边数目，将比原来增多 1 条。

匈牙利算法的核心，就是通过不断寻找原有匹配M的增广路径，来增加匹配中的匹配边和匹配点，从而达到该图下的最大匹配。

四、算法流程

概念

饱和

设一个图为G，G中一些不相邻的边组成了一个集合M，这个集合M就是G的一个匹配。匹配M中的每条边都有两个端点，这两个端点都称为是M饱和的。

“有一些男人一些女人婚姻关系未明（一个图G），一些男女结成了夫妻（一种匹配关系M），结婚的男女都算已婚了（M饱和）”

综上，就把饱和——理解成已婚，比较好理解我下面的分析。

4.1 匈牙利算法单边饱和

第0步

10个男人，9个女人，怎么饱和？如果10个男人，有10个及以上的女人，存在饱和的可能性，任选一种匹配M，准备去找一个饱和X匹配。

第1步

如果当前匹配M，已经X饱和了，10个男人都匹配了老婆，算法停止；否则，任取一个没老婆的男人x（取X中一个M非饱和点x），这个男人放进集合S中，并设一个集合T为空集。

集合S中会存储已经结婚的男人+这个单身狗，集合T是这些男人的已婚配偶。

第2步

如果集合S中的位于匹配顶点的男人，他们可以匹配的女人（顶点的临接顶点N(S)），全部是已婚配偶（∈T），那么算法停止，当前的图就是会有男人找不到老婆。

否则，我们找到了一个没有在当前路径的女人y（y∈N(S)-T），当然了这个女人可能有老公（也在匹配M中，只不过是不同路径），也有可能是硬拆散的（算法首次进入第2步，由于集合T为空，会强拆掉一组夫妻），也有可能压根就是未婚的。

第3步

如果上一步选择的女人y，她是有老公z的（y是M饱和的，yz∈M）。我们暂时先把他们拆开，老公z放进集合S中，女人y放进集合T中，然后去执行第2步。

去执行第2步，意味着也许也许也许…拆掉现有的一对夫妻，这对夫妻中的老婆能解决之前狼少肉多问题的同时，老公还能找到新的老婆。

否则，如果上一步选择的女人y，是没有老公的。我们找到了新的一种结婚方案（一条增广路P(x,y)），这个方案里让单身狗x去娶一个已婚的女人，然后原匹配夫妻中每个已婚男人都去娶别人老婆，剩下的一个已婚男人去娶这个小姑娘y。大家都很happy……hahahaha（增广路取反）

4.2 二部图最大匹配的匈牙利算法

这里可以自行按照上面的分析，去理解算法。虽然真正理解算法较为困难，也不再这里赘述。

总结

这篇文章清晰明了的介绍了下匈牙利算法。如何与多传感器融合特征算法相结合，会在以后的文章中介绍。

审核编辑：刘清