介质中的麦克斯韦方程组分析

文章来源：万象经验

作者：Eugene Wang  

我们知道，物质是由原子组成的，而原子又是由带正电的质子、不带电的中子和带负电的电子组成。一般情况下，原子中的质子数量与电子数量相等，并且两种电荷的中心是重合的，所以物质呈现出中性。

但是，当我们在中性物质上施加一个电场时，虽然原子中的正负电荷数量还是相等的，但它们会对外场产生响应，正负电荷的中心会拉开一定的距离。我们用电偶极子来描述这样的一个系统，并定义一个电偶极矩  来描述它的大小。因为电偶极子的场衰减得很快，所以我们要很靠近才能感受到它。

与此相对应的是，当我们在一个物质外施加磁场时，物质中的电子会在洛伦兹力的作用下绕圈运动，形成一个稳定的环形电流。而这个环形电流所起的作用与电偶极子相似，我们称它为磁偶极子。同样，我们也定义一个电偶极矩  。

介质中的极化和磁化

在前面的文章中，我们已经介绍了真空中的麦克斯韦方程组。然而，人们似乎更关心的是介质中的电磁行为，因为我们置于其中的空气也是一种介质。

当介质处于电场之中时，产生电偶极子的这个过程被称为极化；同样，介质处于磁场之中，产生磁偶极子的这个过程被称为磁化。为了描述极化和磁化的大小，我们定义极化强度P和磁化强度M这两个宏观量，它们分别表示单位体积内电偶极子和磁偶极子的大小。

极化发生时，介质中每一处的正负电荷都被拉开，但是它们不一定会互相完全抵消，因此在宏观上我们就会观察到束缚在介质中的电荷，称为极化电荷。根据高斯定理，我们可以得到极化电荷密度  与极化强度  之间的关系：  。

当外电场随时间变化时，电偶极矩也会跟着发生变化，宏观上我们就会看到极化电荷发生位移，产生极化电流。我们可以得到极化电流密度的公式  。同样，磁化后产生的电流被称为磁化电流，对应的磁化电流密度  。

麦克斯韦方程组

在麦克斯韦方程组中，不管电荷和电流的来源如何，它们都能在空间中激发电场和磁场。我们综合前面所提到的，可以知道总电荷是自由电荷与极化电荷之和：  ，而总电流是自由电流、极化电流和磁化电流之和：  。

因此，我们可以将介质中的麦克斯韦方程组写成如下形式：

这个方程组看起来非常复杂，物理意义也不明显。因为，我们引入两个辅助矢量：电位移矢量  和磁场强度  。这样一来，我们就可以将麦克斯韦方程组简化为只出现自由电荷和自由电流的情况，方便我们对问题的谈论。

更为对称的形式

在低场的近似下，很多介质中的极化强度和磁化强度呈线性关系： 

其中  分别为极化率和磁化率。这样一来，我们就可以得到  和  ，其中  是介质中的介电常数和磁导率。有了这些定义之后，我们就可以把无源空间的麦克斯韦方程组写成更为对称的形式：

 

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