DSP技巧：频率解调算法

一种常用的测量复杂正弦信号瞬时频率的技术是计算信号瞬时 θ（ n ） 相位的导数，如下面的图 13–60所示。

图 13–60 使用反正切函数的频率解调器。

这是传统的离散信号调频解调方法，效果很好。解调器的瞬时输出频率为下面的 Eq13-111：

其中f s 是以赫兹为单位的采样率。

计算瞬时相位 θ（ n ） 需要反正切运算，如果没有大量的计算资源，很难准确实现。这是用于计算等式Δθ（ n ）的方案。（13–111） 没有中间 θ（ n ） 相位计算（及其讨厌的反正切函数）。我们推导出 ？θ（ n ） 计算算法如下，初使用基于以下定义的连续时间变量：

i （ t ） = 同相信号，

q （ t ） = 正交相位信号，

θ（ t ） = tan –1 ［ q （ t ）/ i （ t ）］ = 瞬时相位，

Δθ（ t ） = 时间导数的 θ （ t ）。（13-112）

首先，我们让r （ t ）= q （ t ）/ i （ t ） 成为我们试图计算其反正切导数的信号。微积分恒等式tan –1 ［ r （ t ）］的时间导数是

因为 d［ r （ t ）］/dt = d［ q （ t ）/ i （ t ）］/dt，我们使用微积分恒等式对比率的导数来写

堵塞方程 （13–114） 的结果进入 Eq. （13–113），我们有

替换等式中的r （ t ）。（13–115） 和q （ t ）/ i （ t ） 产量

我们到了那里。接下来我们将方程式中个比率的分子和分母相乘。（13–116） 乘以i 2 （ t ），并将t替换为我们的离散时间变量索引n以得出我们的终结果

图 13–61。 无反正切频率解调器：（a）标准过程； （b） 简化程序。

图 13–61（a） 显示了该算法的实现，其中i （ n ） 和q （ n ） 的导数分别为i ‘（ n ） 和q ’（ n ）。Δφ（ n ） 输出序列用于等式。（13–111） 计算瞬时频率。

微分器是抽头数为奇数的抽头延迟线 FIR 微分滤波器。当微分器是一个系数为 1，0，–1 的 FIR 滤波器时，参考文献 ［54］ 了可接受的结果。

图 13–61 中的延迟元件用于将i （ n ） 和q （ n ） 与微分器的输出进行时间对齐，以便在使用K抽头微分器时延迟为 （ K –1）/2 个样本。 实际上，可以通过关闭微分滤波器的中心抽头来获得延迟。

如果i （ n ）+ jq （ n ） 信号是纯粹的 FM 和硬限制使得i 2 （ n ）+ q 2 （ n ） = 常数，则方程式中的分母计算。（13–117） 不需要执行。在这种情况下，使用 1，0，–1 系数微分器，FM 解调器被简化为图 13–61（b） 中所示的解调器，其中缩放操作是乘以常数的倒数。