在连续时间域中比较Papoulis滤波器和Chebyshev滤波器

本文详细对比了切比雪夫滤波器和Papoulis滤波器特性，并且得出结论切比雪夫滤波器要优于Papoulis滤波器。这里的Papoulis滤波器也叫勒让德滤波器或者L滤波器。可以学习下本文的研究方法，讨论如何通过移位雅可比多项式来替代勒让德多项式来推导Papoulis滤波器。

A Comparison of Papoulis and Chebyshev Filters in the Continuous Time Domain

在连续时间域中比较Papoulis滤波器和Chebyshev滤波器

Negovan STAMENKOVIC , Nikola STOJANOVIC , Dijana JOVANOVIC , Zeljko STANKOVIC 

University of Priština, Faculty of Sciences, 38220 K. Mitrovica, Serbia
  Faculty of Electronic Engineering, University of Niš, A. Medvedeva 14, 18106 Niš, Serbia
  Department of Informatics, College of academic studies "Dositej", 11000 Belgrade
  Faculty of Informatics, Paneuropean University Apeiron, 78000 Banja Luka, Bosnia and Herzegovina
[e-mail], [e-mail]

Submitted March 21, 2021 / Accepted June 13, 2021

摘要

本文的主题是重新审视Chebyshev（等波纹）和Papoulis（单调或阶梯）低通滤波器以进行比较。可以明确地说，现有文献中并未找到Papoulis和Chebyshev滤波器的公正比较。在开始阶段，本文展示了如何使用波纹参数使Chebyshev滤波器的幅度响应比标准Chebyshev响应的通带波纹更少。与此同时，通带截止频率保持在 。接着，解释了设计奇数和偶数次Papoulis滤波器的统一方法。为了比较，将Chebyshev滤波器作为Papoulis滤波器的对等物引入。因此得到的Chebyshev滤波器具有与Papoulis滤波器相同的阻带插入损耗、群延迟和瞬态响应，然而，切比雪夫滤波器的通带性能明显更好。结果显示，除了需要通带衰减具有阶梯形状的应用外，Chebyshev滤波器的对等物在所有应用中都提供了比Papoulis滤波器更好的解决方案。

Keywords

Electronic filters, approximation, Chebyshev filter, Papoulis filter, insertion loss, return loss

1. 引言

Papoulis提出了全极点低通滤波器[1]，它可以被视为从Butterworth滤波器到Chebyshev滤波器之间的良好过渡。这些滤波器的通带幅度特性随单调递减，并呈现阶梯行为。如文献中所述，"这些滤波器可以用于许多应用；即，当瞬态响应也被考虑时，通带内的高波纹是不能容忍的；此时，人们通常作为简单妥协选择Butterworth滤波器，尽管它的截止特性不是太好。"在这篇论文发表后，单调滤波器引起了研究者的关注。例如：提供最大渐近斜率(maximum asymptotic slope)的H类（Halpern）滤波器[2]、带宽性能改进的单调滤波器[3]、LSM（最小二乘单调）滤波器[4]（在所有通带幅度响应被限制为单调的滤波器中，提供最小的通带插损）以及论文[5]中，作者表明Halpern滤波器只具有学术性的兴趣。单调滤波器和抛物滤波器(parabolic filter)的比较在[6]中给出，而在论文[7]中可以找到单调滤波器之间的比较。还应注意的是，单调滤波器占据了最近出版的一本书[8]的大部分内容。

本文有两个主要目标:

首先，将展示等波纹（Chebyshev）逼近在与阶梯（Papoulis）逼近比较时，前者提供更好或者在最坏的情况下相等的性能。

其次，已经证明了Chebyshev滤波器作为Papoulis滤波器的对等物，可以在所有应用中代替Papoulis滤波器。最后，我们普遍认为阶梯滤波器仅具有学术的重要性。

2. 滤波器的传递函数

假设一个线性时不变的双端网络可以由阶线性微分方程来描述。相应的功率损耗[9]是的有理函数，形式如下：

其中，是的完全偶数或奇数阶特征函数。插入损耗以表示，由给出

负载电阻吸收的功率与输入端反射回源的功率之间的关系由Feldtkeller方程给出，其中是输入端的反射系数。将传输系数的表达式（1）代入Feldtkeller方程，得到

回波损耗以表示，形式为。

确定了后，可以使用标准程序找到连续时间低通传递函数。第一步是在复平面上进行的解析延拓，通过替换。第二步是因子分解。平面的左半部分因子是稳定且时间不变的传递函数所需的分母：

其中，是保证幅度以1为上界的约束常数，。如果为奇数，则特征函数在零频率处等于零，即，这给出和。

2.1 缩放的切比雪夫特征函数

众所周知，关于截止斜率的最优滤波器设计可以通过使用切比雪夫多项式来实现[10]。当滤波器的通带内存在高波纹时，这无法容忍，必须降低通带的波纹并保持通带截止频率在。因此，将标准切比雪夫函数通过波纹参数进行缩放，并相对于实角频率进行重新归一化。现在，低通滤波器的缩放的切比雪夫特征函数可以按以下形式获得：

由于考虑了归一化到1的通带截止频率，即，特征函数的角频率可以方便地在封闭形式中找到，结果如下：

因此，在区间上，其中是波纹带，在0和之间振荡，导致在1和之间振荡，同时。可以计算出波纹带上的插入损耗值为。

值得注意的是，特征函数(4)是阶数为的切比雪夫多项式的平方，以缩放并通过重新归一化，其形式为：

以下我们将其称为缩放的切比雪夫多项式或简称为切比雪夫多项式，因为它的通带是等波纹的。我们也可以认为波纹因子可以被视为缩放的切比雪夫多项式的阶数。嵌入的参数就像在Gegenbauer多项式[11]的情况下的阶数一样，作为自由度的一种表现。这些多项式并不是相对于切比雪夫权重函数在区间上的正交，因为重新归一化的频率同时依赖于滤波器的阶数和波纹参数。另一方面，这些多项式是纯偶或纯奇多项式，它们的实根位于通带内。

图 1中给出了三个缩放的切比雪夫特征函数，，对于和和7。

这些特征函数的波纹带也在图1中描绘出来。因此，缩放的切比雪夫多项式(6)是切比雪夫多项式的一种，可以用来近似滤波器传输系数的幅度函数。

图 1. 对于和和7的缩放的切比雪夫特征函数。波纹带已标记。

2.2 Papoulis滤波器的特征函数

在原始论文[1]和[12]中，Papoulis教授分别提出了奇数阶和偶数阶的单调（阶梯型）低通滤波器。这类滤波器被称为L型滤波器，因为在原始推导中使用了勒让德多项式。以下文本详细描述了奇偶数阶滤波器的唯一解。

阶数为的阶梯型滤波器的奇偶特征函数的生成公式，其实系数可以表述如下形式[14]：

这是的正实函数。为了使得是一个单调多项式，多项式被使用，以形成一个完全平方形式。为了确定，它被展开为一个正交多项式的平方和，这个正交多项式的正交区间匹配低通滤波器的归一化通带，即。使用雅可比多项式代替勒让德多项式[1]，也可以推导出阶梯型（单调的）Papoulis滤波器。

具有两个固有参数和的雅可比多项式，在区间在权重函数下是正交的。对于，它有个不同的零点，但是它们既不是偶数也不是奇数。这种类型的多项式不适合作为滤波器特征函数，需要进行修改以满足作为滤波器函数的要求[15]。为了设计单调滤波器，使用了移位雅可比多项式(shifted Jacobi polynomials)。它们通过线性替代定义，即，其中，（满足 和）。这些多项式在区间上相对于权重函数是正交的。可以证明如果且，那么且。可以通过Matlab符号函数方便地确定移位雅可比多项式。

由于参数值被限制为整数值，并设，那么就是一个纯偶正交多项式，相对于权重函数。换句话说，多项式相对于权重是正交的。然后有：

其中，并且它可以在滤波器特征函数的某个位置使用。

为了确定Papoulis滤波器的特征函数（7），我们首先将多项式展开为移位雅可比正交多项式的级数形式，得到以下表达式：

其中，对于偶数，为2，对于奇数，为1。常数根据多项式的正交性条件计算得出。为此首先计算内积：

所以，根据公式 (10)，我们得到 ，其中的的取值范围对于偶数是，而对于奇数的，我们得到，其中的取值范围是。由于，我们可以推导出，然后可以得出dB带宽被归一化为1。从公式 (9) 中，我们可以得到在通带截止频率时，特征函数的截止斜率是最大的：

这是由Papoulis [1] 首次提出的。未知系数可以通过求解一个极值问题来确定，该问题需要借助拉格朗日乘数和拉格朗日函数来解决：

这里的是包含系数的向量。函数的偏导数给出了个等式，这些等式通过设定它们为零来求解，如下：

以及

使用公式 (13)，系数可以表示为。将这些值代入公式 (14)，就可以得到参数，然后得到。由于已知系数，所以特征函数可以通过使用公式 (9) 中给出的定积分得到。例如，设定 和 。然后 并且 。

图 2 显示了三个奇数阶Papoulis（阶梯型）特征函数，对等的值为3，5和7。最接近通带边缘的拐点被标记出来。这些频率被用来定义阶梯型频带和阶梯型插入损耗水平。如果滤波器的阶数增加，阶梯型通带会增加，相应的通带衰减也会稍微增加。

图 2. 对等和7的Papoulis特征函数。

译注：
这里处理感觉不妥，以这个平台作为评估带宽和插入损耗水平有点勉强。

3. 切比雪夫滤波器作为Papoulis滤波器的对等物

在缩放后的C类滤波器的第一种边界类别中，当时，我们可以得到Butterworth滤波器。第二种边界类别和则对等于有通带纹波的切比雪夫滤波器。我们可以观察到，如果纹波参数从0增加到1，那么渐进斜率就会从Butterworth滤波器的1增加到切比雪夫滤波器的，其中是滤波器的阶数。Papoulis滤波器的渐进斜率位于这两者之间。在接下来的内容中，我们将展示如果切比雪夫滤波器具有与Papoulis滤波器相同的渐进速率，那么它就可以被视为Papoulis滤波器的对等物。

由于这两种滤波器应具有相同的渐进斜率，因此可以通过求解以下非线性方程来找到切比雪夫滤波器的阶数，其中是切比雪夫滤波器的渐进斜率。

而是已知的Papoulis滤波器的渐进斜率。换句话说，渐进斜率是滤波器特性函数的主系数的平方根。例如，如果，那么Papoulis滤波器的渐进斜率是，而切比雪夫滤波器，作为Papoulis滤波器的对等物，其特性由决定。

表 1. 作为阶梯型滤波器对等物设计的等波纹滤波器分母中的多项式的归一化系数。

表 1列出了切比雪夫滤波器作为Papoulis滤波器的对等物的系数，其阶数高达11阶。表中还总结了相应的性能：对等物的值，通带内特性函数下的面积（面积），渐进斜率（AS），纹波带，以及纹波带内的插入损耗水平。切比雪夫滤波器（Papoulis滤波器的对等物）的插入损耗水平小于，并且如果滤波器的阶数增加，损耗将会减少。因此，我们可以说，在通带内，它是近似单调的[16]。

Papoulis滤波器的性能可以通过使用第2.2节中提出的方法进行计算，或者可以在[7]中找到。

4. 对比

我们在图 3中给出了9阶Papoulis滤波器、切比雪夫滤波器和巴特沃滤波器的频率响应。将切比雪夫滤波器的阶数降低到值，使得切比雪夫滤波器的群时延响应和阻带插入损耗与Papoulis滤波器的相同。这两个滤波器具有相同的渐近斜率，如图 3所示。

图 3. Papoulis滤波器和其对等的切比雪夫滤波器的频率响应。

切比雪夫滤波器在通带中提供了更好的性能。纹波带内的插入损耗水平，远低于阶梯带内的插入损耗水平。阶梯带略窄于纹波带。阶梯特性函数下的面积 几乎是等纹波特性函数下的面积 的四倍。换句话说，Papoulis滤波器的反射功率大约是其四倍。

给出频率响应在图 3中的滤波器的回波损耗响应可以在图 4中看到。切比雪夫滤波器的回波损耗水平为，它比Papoulis滤波器的回波损耗水平低约。

图 4. Papoulis滤波器和其对等的切比雪夫滤波器的回波损耗。

反射系数的零点可以通过找到缩放的C多项式(6)的根来得到。求解，得到封闭形式的反射零点

其中表示向下取整函数。显然，所有反射零点都在通带的-轴上，滤波器的最大功率传输在这些频率下发生。

Papoulis滤波器和其对等的切比雪夫滤波器的单位阶跃响应之间没有差异，如图 5所示。

图 5. 等纹波滤波器和阶梯滤波器的阶跃响应对比。

正如Orchard [17]所解释的，如果存在最大功率从源到负载的频率，滤波器传输函数对元件变化（在通带内）的敏感度可以达到零。切比雪夫滤波器也设计为在通带内的某些频率（反射零点）实现最大功率传输。对于，最大功率传输发生在传输系数大小等于一的四个频率处，而这些值不能被超过。在这些频率下，实现为LC阶梯电路的切比雪夫滤波器对线圈和电容器值的变化显示出零敏感度，并保持整个通带的敏感度较低[17]。因此，随着通带纹波的减小，敏感度也会减小。另一方面，Papoulis滤波器并未设计为最小化通带内对元件变化的敏感度，因为最大功率传输只在直流下发生。因此，Papoulis滤波器在通带内的敏感度远高于其切比雪夫滤波器对等物的敏感度。

5. 结论

本文提出了一种新型全极点低通滤波器，其在通带中具有等纹波（切比雪夫）响应。此处我们讨论了这种新提出的滤波器与全极Papoulis滤波器的对比，因为这两种滤波器具有相同的渐近斜率。我们提供了一张表格，包含了3至11阶切比雪夫滤波器的传输系数，用于与Papoulis滤波器进行比较。新提出的滤波器相比阶梯滤波器的主要优势如下：

译注：严格来说这不能算是一种新滤波器，这本来就是切比雪夫滤波器。

额外的自由度使得可以调整通带中的纹波，因此可以生成阶梯滤波器的对等物的滤波器性能。

当时，得到切比雪夫滤波器的一个特殊情况——巴特沃斯滤波器。

特性函数，反射零点，渐近斜率和截止斜率都可以用封闭形式表示。

与每个已知的阶梯滤波器相比，通过特性函数在通带下的面积以及通带内插损更小。

滤波器系数的数值计算简单。阶梯滤波器的系数是通过复杂数学运算得到的。

如果滤波器的阶数增加，那么插损和元件变化的敏感度会减小，而在阶梯滤波器的情况下，插损和敏感度会增加。

回波损耗在通带内呈等纹波形式，其水平低于Papoulis滤波器的回波损耗水平。回波损耗为零的频率以数学封闭形式给出。

通带敏感度在某些频率处为零，而且在整个通带内明显降低。在这些频率下，可以进一步调整滤波器的特性。

奇数阶特征函数是完全平方，并在原点处为零，因此，实现的LC梯形网络具有对称性，并且额外降低了灵敏度，这对阶梯滤波器来说是无效的。

因此，可以得出的结论是，在具有阶梯通带响应和优化截止斜率的滤波器以及具有等纹波通带响应的滤波器之间，后者在所有应用中都提供了更好的解决方案。由于等纹波滤波器的设计方程式简单，其性能与阶梯滤波器相同或更好，根据以上的比较，人们普遍认为阶梯滤波器只在学术上具有重要意义。

致谢

作者感谢尼什大学的V. S. Stojanović教授提供的宝贵评论和建议。此处展示的部分工作得到了塞尔维亚教育和科学部在TR 32009项目框架内的部分支持。

注:

  Fukada [13]发布了相同的结果，但只针对偶数阶滤波器。
  渐近斜率将以特性函数的主要系数的平方根来表示。具有通带纹波的切比雪夫滤波器的渐近斜率为。
  所需面积通过积分获得：Area ，它与滤波器输入端的反射功率有关。

关于作者 ...

Negovan STAMENKOVIĆ 他于1979年出生。他于2006年从普里什蒂纳大学技术科学学院的电子和电信系获得硕士学位，于2011年从塞尔维亚尼什电子工程学院获得电子与计算机工程博士学位。他现在是普里什蒂纳大学自然科学与数学学院的教授。他目前的研究兴趣在基于余数系统的模拟和数字信号处理领域。

Nikola STOJANOVIĆ 他于1973年出生。他于1997年在普里什蒂纳大学技术科学学院获得电子与电信学士学位，2013年在尼什大学电子工程学院获得多媒体技术硕士学位，并于2018年从尼什大学电子工程学院获得电子与计算机工程博士学位。目前他在尼什大学电子学院担任多媒体和3D动画讲师。他的研究兴趣包括数字和模拟信号处理，3D动画和数字化。

Dijana JOVANOVIĆ 她于1996年出生。她于2018年和2019年分别从贝尔格莱德“Dositej”学院学术研究部的信息学系获得学士和硕士学位。从2018年开始，她在“Dositej”学院学术研究部担任研究助理。她是贝尔格莱德大学的博士研究生。

Željko STANKOVIĆ 他于1957年出生。他于2006年从塞尔维亚诺维萨德大学的数学与自然科学系获得硕士学位，2010年从贝尔格莱德辛吉杜努姆大学的信息技术系获得信息技术博士学位。他是巴尼亚卢卡泛欧大学 Apeiron 信息学系的助理教授。

　　审核编辑：汤梓红