滤波器产品的不同特性、操作的概念

这篇综合文章涵盖了模拟滤波器的所有方面。它首先介绍基本类型：一阶和二阶滤波器、高通和低通滤波器、陷波和全通滤波器以及高阶滤波器。然后，本教程介绍了不同实现的特性，例如巴特沃兹滤波器、切比切夫滤波器、贝塞尔滤波器、椭圆滤波器、状态变量滤波器和开关电容滤波器。

介绍

易于使用，集成式开关电容滤波器对许多应用具有吸引力。本文通过描述滤波器产品并解释控制其操作的概念来帮助您为此类设计做好准备。

从一个简单的积分器开始，我们首先开发一种直观的有源滤波器方法。然后，我们介绍了状态变量滤波器及其开关电容形式的实现等实际实现。本文介绍的具体集成滤波器包括Maxim的MAX7400系列高阶开关电容滤波器。

一阶滤波器

积分器过滤器

积分器（图1a）是数学上最简单的滤波器，它构成了大多数现代集成滤波器的构建模块。考虑一下我们对集成商的直观了解。如果在输入端施加直流信号（即零频率），输出将描述一个线性斜坡，该斜坡的幅度不断增长，直到受到电源的限制。忽略该限制，积分器在零频率下的响应是无限的，这意味着它在零频率下有一个极点。（极点存在于传递函数的值变为无穷大的任何频率下。

我们还知道，积分器的增益随着频率的增加而减小，并且在高频下，输出电压几乎变为零。增益与频率成反比，因此在对数/对数坐标上绘制时，其斜率为-1（即，波特图上的-20dB/十倍频程，图1b）。

图 1a.一个简单的RC积分器。

图 1b.简单积分器的波特图。

您可以轻松地将传递函数导出为：

VOUT/VIN = XC/R = (1/sC)/R = -1/(sCR) = -ω0/s

其中 s 是复频变量 σ + jω 和 ω0为 1/RC。如果我们将s视为频率，则此公式证实了增益与频率成反比的直观感觉。稍后，在讨论实际过滤器的实现时，我们将回到集成商。

简单的RC低通滤波器

稍微复杂的滤波器是简单的低通RC型（图2a）。其特性（传递函数）为：

VOUT/VIN = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1 + sCR) = ω0/(s + ω0)

当 s = 0 时，函数减少到 ω0/哦0，即团结。当 s 增加到无穷大时，函数接近零，因此这是一个低通滤波器。当 s = -ω 时0，分母为零，函数的值为无穷大，表示复频率平面中的极点。在图2b中，传递函数的大小与s绘制，其中s的实分量σ朝向我们，正虚部jω朝右。-ω 处的极点0是显而易见的。振幅以对数方式显示，以强调函数的形式。对于积分器和RC低通滤波器，频率响应在无限频率下趋于零。简单地说，在s = ∞处有一个零。这个零围绕复平面。

图 2a.一个简单的RC低通滤波器。

图 2b.RC低通滤波器的复杂功能。

但是，s中的复数函数与电路对实际频率的响应有何关系呢？在分析电路对交流信号的响应时，我们使用表达式jωL表示电感的阻抗，使用1/jωC表示电容器的阻抗。当使用拉普拉斯变换分析瞬态响应时，我们使用sL和1 / sC作为这些元件的阻抗。相似之处立即显现出来。交流分析中的jω实际上是s的虚部，如前所述，它由实部s和虚部jω组成。

如果我们在上述任何方程中用jω代替s，我们就会得到电路对角频率ω的响应。在图 2b 的复图中，沿正 jω 轴的 σ = 0，因此 s = jω。因此，该函数沿该轴的值是滤波器的频率响应。我们沿jω轴对函数进行了切片，并通过沿正jω轴为函数值添加一条粗线来强调RC低通滤波器的频率-响应曲线。更熟悉的波特图（图2c）在形式上看起来不同，只是因为频率是对数表示的。

图 2c.低通滤波器的波特图。

虽然复数频率的虚部jω有助于描述对交流信号的响应，但实部σ有助于描述电路的瞬态响应。因此，从图2b可以看出RC低通滤波器的响应与积分器的响应相比。低通滤波器的瞬态响应更稳定，因为它的极点位于复平面的负实半部分。重述，低通滤波器对阶跃函数输入做出衰减指数响应;积分器做出无限响应。对于低通滤波器，-σ轴下方的极点位置意味着ω0，时间常数更短，因此瞬态响应更快。相反，靠近jω轴的极点会导致更长的瞬态响应。

到目前为止，我们已经将一些简单电路的数学传递函数与它们在复频平面中的相关极点和零点相关联。从这些函数中，我们推导出了电路的频率响应（以及波特图）及其瞬态响应。由于积分器和RC滤波器在其传递函数的分母中只有一个s，因此它们各只有一个极点。也就是说，它们是一阶滤波器。

但是，从图1b可以看出，一阶滤波器不能提供非常选择性的频率响应。为了更贴近应用需求定制过滤器，我们必须转向更高的阶数。从现在开始，我们将使用 f（s） 而不是繁琐的 V 来描述传递函数外/在在.

二阶低通滤波器

二阶滤波器具有2在分母和复平面中的两个极点。通过在无源电路中使用电感和电容，或者创建由电阻器、电容器和放大器组成的有源电路，可以获得这种响应。例如，考虑图3a中的无源LC滤波器。我们可以证明它的传递函数具有以下形式：

ƒ（s） = XC/（R + XL+ XC） = （1/sC）/[R + sL + （1/sC）] = 1/（LCS2+ 遥控S+ 1)

如果我们定义：

ω02 = 1/LC and Q = ω0L/R = 1/(RCω0)

然后：

ƒ（s） = 1/[（s/ω0)2+ s/（ω0Q） + 1] = ω02/[s2+ s（ω0/Q） + ω02]

哪里哦0是滤波器的特征频率，Q是品质因数（R越低意味着Q越高）。

图 3a.RLC低通滤波器。

图 3b.RLC低通滤波器的极点零点图。

极点出现在分母变为零的 s 值处;也就是说，当2+ 不锈钢0/Q+z02= 0。我们可以通过记住 ax 的根来解决这个方程2+ bx + c = 0 由下式给出：

在这种情况下，a = 1， b = ω0/Q， 和 c = ω02.术语（b2- 4ac） 等于 ω02（1/Q2- 4).因此，如果 Q 小于 0.5，则两个根都是实数，并且位于负实轴上。该电路的行为非常类似于级联中的两个一阶RC滤波器。这种情况不是很有趣，所以我们只考虑 Q > 0.5 的情况，这意味着 （b2- 4ac）为负数，根很复杂。

因此，实部是 -b/2a，即 -ω0/2Q，并且两个根共有。根的虚部在符号上是相等和相反的。计算根在复平面中的位置，我们发现它们位于 ω 的距离处0（相关的数学，简单但乏味，将留给更受虐狂的读者练习。

变化哦0更改极点与原点的距离。减小 Q 会使两极彼此靠近;增加 Q 会使半圆中的极点彼此远离并朝向 jω 轴。当 Q = 0.5 时，两极在 -ω 处相遇0在负实轴上。在这种情况下，相应的电路相当于两个级联的一阶滤波器，如前所述。

现在我们应该检查二阶函数的频率响应，看看它如何随 Q 变化。和以前一样，图4a将函数显示为曲面，在由复平面和垂直幅度矢量形成的三维空间中表示。此外，Q = 0.707，您可以立即看到响应是低通滤波器。

图 4a.二阶低通滤波器的复函数（Q = 0.707）。

增加 Q 值会使圆形路径中的极点向 jω 轴移动。图 4b 显示了 Q = 2 的情况。由于极点离jω轴更近，因此它们对频率响应的影响更大，从而在通带的高端产生峰值。

图 4b.二阶低通滤波器的复函数（Q = 2）。

对滤波器的瞬态响应也有影响。由于极点的负实部较小，输入阶跃函数将导致滤波器输出端出现振铃。Q值越低，振铃越小，因为阻尼越大。如果Q变为无穷大，则极点到达jω轴，在s = ω处引起无限频率响应（不稳定和连续振荡）0.在图3a的LCR电路中，除非R = 0，否则这种情况是不可能的。然而，对于包含放大器的滤波器，这种情况确实是可能的，必须在设计过程中加以考虑。

二阶滤波器提供变量 ω0和 Q，它允许我们将极点放置在复平面中我们想要的任何位置。尽管如此，这些极点必须以复共轭对的形式出现，其中实部相等，虚部具有相反的符号。这种极点放置的灵活性是一个强大的工具，使二阶级成为许多开关电容滤波器的有用元件。与一阶情况一样，二阶低通传递函数随着频率增加到无穷大而接近零。然而，二阶函数的下降速度是其两倍，因为2分母的因素。结果是无穷远处的双零。

在讨论了一阶和二阶低通滤波器之后，我们现在需要在两个方向上扩展我们的概念：我们将讨论其他滤波器配置，例如高通和带通部分，然后我们将讨论高阶滤波器。

高通和带通滤波器

为了将低通滤波器变为高通滤波器，我们将s平面从内向外转动，使低频高，高频低。无限频率的双零变为零频率;零频率下的有限响应变为无限。为了完成这种转换，我们使s = ω02/s，因此当ω02/s 0时s∞，反之亦然。在 ω0 处，s 的旧值和新值相同。s = 1 处的双零变为零;我们在 S = 0 时的有限响应移动到无穷大，产生一个高通滤波器：

ƒ(s) = ω02/[(ω04/s2) + (ω03/Qs) + ω02]

如果我们将分子和分母乘以s2/ω02,

ƒ（s） = s2/[s2+ （sω0/Q） + ω02]

此形式与以前相同，只是分子是 s2而不是 ω02. 换句话说，我们可以通过改变分子并保留分母来将低通函数转换为高通函数。

波特图为低通到高通变换提供了另一种视角。图5a显示了二阶低通函数的波特图：平坦到截止频率，然后以-40dB/十倍频程下降。乘以 s2为此功能增加+40dB/十倍频程斜率。额外的斜率提供低于截止频率的低频滚降;高于截止值时，它通过消除原始的-5dB/十倍频程斜率来提供平坦的响应（图40b）。

图5.二阶滤波器的波特图。

我们可以使用相同的想法来生成带通滤波器。将低通响应乘以s，即可获得+20dB/十倍频程斜率。然后，净响应比截止值低+20dB/十倍频程，高于截止值-20dB/十倍频程。这会产生图5c中的带通响应：

ƒ（s） = ω0s/[s2+ （sω0）/Q） + z02]

请注意，二阶带通滤波器的截止速率是其他类型的一半。这是因为可用的40dB/十倍频程斜率必须在滤波器的两个裙边之间共享。

总之，归一化形式的二阶低通、带通和高通函数具有相同的面额，但它们的分子为 ω02哦0s 和 s2分别。

陷波和全通滤波器

陷波或带阻滤波器抑制特定频段内的频率，同时通过所有其他频段。同样，您可以通过更改标准二阶特征的分子来导出此滤波器的传递函数：

ƒ(s) = (s2 + ωZ2)/s2 + (sω0/Q) + ω02

考虑极限情况。当 s = 0 时，f（s） 减小到 ω跟2/哦02，这是有限的。当 s 为∞时，方程减少到 1。在 s = jω 时跟，分子变为零，f（s） 变为零（双零，实际上是因为2在分子中），并且我们具有陷波滤波器的特征。在陷波频率高于和低于陷波时，增益将有所不同，除非ω跟= 哦0.陷波滤波器方程也可以表示为：

ƒ(s) = s2 + (ωZ2)/s2 + (sω0/Q) + ω02 =
[s2/s2 + (sω0/Q) + ω02] + [ωZ2/s2 + (sω0/Q) + ω02]

这可以简单地说明。陷波滤波器基于低通和高通特性的总和。我们在实际滤波器实现中利用这一事实，从现有的高通和低通响应生成陷波响应。我们通过添加两个响应来创建零似乎很奇怪，但它们的相位关系使之成为可能。

最后，还有全通滤波器，其形式为：

ƒ（s） = [s2- （sω0/Q） + ω02]/[s2+ （sω0/Q） + ω02]

该响应的极点和零点对称地放置在jω轴的两侧，如图6所示。这些极点和零点的影响精确抵消，以提供电平和均匀的频率响应。似乎一根电线可以更便宜地提供这种效果。然而，与导线不同，全通滤波器提供了相位响应随频率的有用变化。

图6.二阶全通滤波器的复杂函数。

高阶滤波器

我们很幸运不必单独处理高阶滤波器，因为任何长度的 s 中的多项式都可以分解为一系列二次项（如果多项式是奇数，则加上单个一阶项）。例如，五阶低通滤波器可能具有传递函数：

ƒ（s） = 1/[s5 + a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0]

其中所有 a0 都是常量。我们可以将分母分解为：

ƒ（s） = 1/[（s2 + sω1/Q1 + ω12）（s2 + sω2/Q2 + ω22）（s + ω3）]

这与：

ƒ（s） = [1/（s2 + sω1/Q1 + ω12）] × [1/（s2 + sω2/Q2 + ω22）] × [1/（s + ω3）]

最后一个方程表示一个滤波器，我们可以在物理上实现为两个二阶部分和一个一阶部分，全部级联。

这种配置简化了设计，使复频平面中的极点和零点响应可视化变得更加容易。我们知道，每个二阶项贡献一个复共轭极对，一阶项在负实轴上贡献一个极点。如果传递函数在分子中具有高阶多项式，则该多项式也可以分解，这意味着二阶部分将是低通部分以外的其他内容。

使用上述合成原理，我们可以简单地通过将极点和零点放置在复频平面的不同位置来构建各种各样的滤波器。然而，大多数应用只需要有限数量的可能性。对他们来说，许多早期的实验者，如巴特沃斯和切比切夫，已经制定了细节。

巴特沃斯过滤器

许多应用中常见的一种滤波器要求在通带内保持平坦的响应，但之后尽可能急剧地切断。您可以通过在半圆形轨迹周围排列间距相等的低通滤波器的极点来获得该响应。结果将是巴特沃兹滤波器。例如，图7a的零极图表示巴特沃兹滤波器的四阶类型。

图 7a.四阶巴特沃兹低通滤波器的极点零图。

图7a中的极点具有不同的Q值，但它们都具有相同的ω0因为它们与原点的距离相同。对应于该滤波器的三维表面（图7b）说明了当最低Q极点的影响开始消失时，下一个极点接管，直到极点用完并且响应以-80dB/十倍频程下降。

图 7b.四阶巴特沃兹低通滤波器的复杂函数。

您可以构建高通、带通和其他滤波器类型的巴特沃兹版本，但这些滤波器的极点不会排列在一个简单的半圆中。在大多数情况下，您首先设计一个低通滤波器，然后应用转换来生成其他类型的滤波器。

切比切夫过滤器

通过将极点靠近jω轴（增加它们的Qs），我们可以制造出频率截止比巴特沃兹更陡峭的滤波器。这种安排有一个缺点：每个极点的影响将在滤波器响应中可见，从而产生幅度变化，称为通带中的纹波。然而，通过适当的极点排列，变化可以相等，这导致了切比切夫滤波器。

通过将每个极点以相同的比例靠近 jω 轴，使极点位于椭圆上，您可以从巴特沃斯推导出切比切夫滤波器（图 8a）。图8b显示了每个极点如何为通带纹波贡献一个峰值。将极点移近jω轴会增加通带纹波，但在阻带中提供更突然的截止。因此，切比切夫滤波器在纹波和截止之间提供了权衡。在这方面，巴特沃兹滤波器，其中通带纹波设置为零是切比切夫的一个特例。

图 8a.四阶切比切夫低通滤波器的极点零图。

图 8b.四阶切比切夫低通滤波器的复杂函数。

贝塞尔滤波器

具有尖锐截止的巴特沃斯和切比切夫滤波器带有从其极点在 s 平面中的位置可以明显看出的惩罚。使极点靠近jω轴会增加它们的Q值，从而降低滤波器的瞬态响应。可能会导致响应边沿出现过冲甚至振铃。

贝塞尔滤波器代表了与北海相反方向的权衡。贝塞尔极点位于离jω轴更远的轨迹上（图9）。瞬态响应得到改善，但代价是阻带的截止值不那么陡峭。

图9.四阶贝塞尔低通滤波器的极点零点图。

椭圆滤波器

通过增加最接近通带边缘的极点的Q，可以获得比切比切切夫更清晰的阻带截止的滤波器，而不会产生更多的通带纹波。单独这样做会产生增益峰值，但您可以通过在阻带底部提供一个零来补偿峰值。必须沿阻带间隔额外的零点，以确保滤波器响应保持在所需的阻带衰减水平以下。图10a显示了这种类型的零极图：椭圆滤波器。图10b显示了相应的传递函数表面。正如您可能想象的那样，椭圆滤波器的高Q极点产生的瞬态响应甚至比切比切夫还要差。

图 10a.四阶椭圆低通滤波器的极点零点图。

图 10b.四阶椭圆低通滤波器的复杂函数。

请注意，所描述的所有滤波器都具有与极点相同的零数。（必须如此，否则传递函数将不是无量纲表达式。例如，椭圆滤波器在阻带中沿jω轴将其零点间隔开。在贝塞尔、巴特沃斯和切比切夫的情况下，所有的零都在无穷大处彼此重叠。由于分子中没有显式零，因此这些滤波器类型有时称为全极点滤波器。

现在，我们已经扩展了我们的概念，不仅涵盖了一阶和二阶滤波器，还涵盖了高阶滤波器，包括一些特别有用的情况。现在是时候从抽象理论转向讨论实际电路了。

状态变量筛选器

如前所述，我们可以从一阶和二阶构建块构造任何滤波器。您可以将一阶滤波器视为二阶滤波器的特例。因此，我们的基本构建块应该是二阶部分，从中我们可以导出低通、高通、带通、陷波或全通特性。

状态变量滤波器是二阶部分的便捷实现。它使用两个级联积分器和一个求和结，如图11所示。

图 11.二阶状态变量筛选器。

我们知道积分器的特性只是ω0/s.但是为了在简化数学的同时演示原理，我们可以假设两个积分器都有ω0= 1，并且它们的特性只是 1/s。然后，我们可以为图 11 中的每个积分器编写方程：

L = B/s 或 B = sL

B = H/s 或 H = sB = s2L

图11中求和结的公式很简单：

H = I - B - L

如果我们使用积分器方程代入 H 和 B，我们得到：

s2L = I - sL - L

Or

s2L + sL + L = I

在这种情况下：

L（s2 + s + 1） = I

Or

L/I = 1/（s2 + s + 1）

公式22是经典的归一化低通响应。因为 B = sL 和 H = s2L，所以：

B/I = s/（s2 + s + 1） 和 H/I = s2/（s2 + s + 1）

公式23分别显示了经典带通和高通响应。

因此，一个滤波器同时提供低通、带通和高通输出。我们可以创建实际值为 ω 的实际滤波器0和 Q 通过构建具有 ω 的积分器从这些方程中得出0≠ 1 并将因子反馈到值为 ≠1 的求和交汇点。

理论上，您可以通过级联两个以上的积分器来创建高阶滤波器。一些集成电路滤波器使用这种方法，但它有缺点。若要对这些筛选器进行编程，必须计算高阶多项式的系数值。此外，一长串集成器引入了稳定性问题。通过将自己限制在二阶部分，我们的优势是可以直接使用 ω0以及与每个极点关联的 Q 变量。

开关电容滤波器

无论架构如何，所有有源滤波器的特性都取决于其RC时间常数的精度。由于集成电阻和电容的典型精度约为±30%，因此设计人员在尝试对集成滤波电路中的元件使用绝对值时会受到阻碍。然而，芯片上的电容器值之比可以精确控制在2000年的<>部分左右。开关电容滤波器使用这些电容比来实现精度，而无需精密的外部元件。

在图12所示的开关电容积分器中，组合C.1开关模拟电阻。

图 12.开关电容积分器。

开关 S1 以时钟频率 fCLK 连续切换。当S1位于左侧时，电容C1向VIN充电。当它向右切换时，C1将电荷转储到积分器的求和节点中，并从该节点流入电容器C2。每个时钟周期内C1上的电荷为：

Q = C1VIN

因此，传输到求和结的平均电流为：

I = QfC = C1VIN × fCLK

请注意，电流与 V 成正比在，所以我们具有与值电阻相同的效果：

R = VIN/I = 1/(C1fCLK)

积分器的 ω0因此：

ω0 = 1/RC2 = C1fCLK/C2

因为哦0与两个电容器的比率成正比，其值可以非常精确地控制。此外，该值与时钟频率成正比，因此您可以通过更改f来改变滤波器特性时钟，如果需要。但开关电容是一个采样数据系统，因此不完全等同于时间连续RC积分器。事实上，这些差异给设计师带来了三个问题。

首先，通过开关电容器的信号由时钟频率调制。如果输入信号包含接近时钟频率的频率，则它们可能会相互调制，并在系统带宽内产生杂散输出频率。对于许多应用来说，这不是问题，因为输入带宽已经限制在时钟频率的一半以下。否则，开关电容滤波器之前必须有一个抗混叠滤波器，该滤波器可去除输入频率高于时钟频率一半的任何分量。

其次，积分器输出（图12）不是线性斜坡，而是时钟频率下的一系列步进。在由开关注入的电荷引起的阶跃转换处可能存在小尖峰。如果滤波器之后的系统带宽远低于时钟频率，则这些像差可能不是问题。否则，必须在开关电容滤波器的输出端再次添加另一个滤波器，以消除时钟纹波。

第三，开关电容滤波器的行为与理想的时间连续模型不同，因为输入信号每个时钟周期仅采样一次。当滤波器的极点频率接近时钟频率时，滤波器输出会偏离理想值，特别是对于低Q值时。但是，您可以计算这些效应，并在设计过程中允许它们。

考虑到上述情况，最好保持时钟与中心频率的比值尽可能大。开关电容滤波器的典型比率范围约为28：1至200：1。例如，MAX262允许的最大时钟频率为4MHz，因此使用28：1的最小比率可获得140kHz的最大中心频率。在低端，开关电容滤波器的优点是可以处理低频，而无需使用令人不安的大R和C值。您只需降低时钟频率即可。

结论

本文介绍了与开关电容有源滤波器相关的概念和术语。如果您已经掌握了此处介绍的材料，您应该能够理解大多数滤波器数据手册。

审核编辑：郭婷