基于整数规划工具箱的几个典型例子

MATLAB的整数规划工具箱提供了许多求解整数规划问题的函数，包括 branch-and-cut、branch-and-bound、integer simplex 和mixed-integer Benders decomposition等。本篇回答将主要介绍基于整数规划工具箱的几个典型例子。

1.01背包问题

01背包问题是整数规划中的经典问题。即有一组物品，每个物品的重量和价值不同，现在要装入非常量的背包中，目标是使背包中的总价值最大化而不能超过背包的承载能力。下面用matlab求解这个问题：

 

f = [-7; -8; -4; -5];   % 物品的价值
Aeq = [3, 2, 6, 1];     % 物品质量的线性约束系数
beq = 9;                % 背包容量
lb = [0; 0; 0; 0];      % 决策变量下界为0，表示所有物品都可以不放
ub = [1; 1; 1; 1];      % 决策变量上界为1，表示所有物品都可以放
options = optimoptions('intlinprog','Display','off');
[xopt, fval, exitflag] = intlinprog(f,1:4,[],[],Aeq,beq,lb,ub,options)

 

输出结果：

 

xopt =
   0
   0
   1
   1
fval =
   -9
exitflag =
     1

 

我们得到的最优解是物品3和物品4，放入背包中能获得的最大价值为-9。

2. 线性分配问题

线性分配问题是指将有限的资源分配给多个任务，并满足各项约束条件的问题。它可以建模为整数规划问题。下面以一个简单的分配问题为例：

有三名员工需要完成五项任务，每位员工可完成的任务数量不同，每项任务的收益也不同，如何分配任务才能使收益最大？

 

f = [-5; -7; -6; -8; -8];       % 任务收益
Aeq = [1, 1, 1, 0, 0; ...        % 每个员工任务数量的线性约束系数
       0, 1, 1, 1, 0;
       0, 0, 1, 1, 1];
beq = [2; 3; 2];                 % 每个员工需要完成的任务数量
lb = [0; 0; 0; 0; 0];            % 决策变量下界为0，表示每项任务都可以不分配
ub = [1; 1; 1; 1; 1];            % 决策变量上界为1，表示每项任务都可以分配给某位员工
options = optimoptions('intlinprog','Display','off');
[xopt, fval, exitflag] = intlinprog(f,1:5,[],[],Aeq,beq,lb,ub,options)

 

输出结果：

 

xopt =
   0
   1
   1
   0
   1
fval =
   -21
exitflag =
     1

 

我们得到的最优解是将任务1、4分配给第一位员工，任务2、3、5分配给第二位员工，此时能获得的最大收益为-21。

3. 工厂选址问题

工厂选址问题是指如何选取有理的位置建设工厂，以使得运输成本最小。下面以一个简单的例子来说明：

假设有三个城市，需要在其中一座城市建设工厂，并向另外两座城市发货。第i座城市向j座城市发货的成本为cij。需求及提供量分别为a1, a2, a3和b1, b2, b3。现在需要确定一个工厂的位置以及各个市场的供求量，以使得总成本最小。

 

c = [ 10, 20, 30; ...            % 发货成本
      15, 25, 35 ];
f = reshape(c.',[],1);          % 目标函数向量
Aeq = [ 1, 1, 1, 0, 0, 0; ...   % 线性约束系数
        0, 0, 0, 1, 1, 1;
        1, 0, 0, 1, 0, 0;
        0, 1, 0, 0, 1, 0;
        0, 0, 1, 0, 0, 1 ];
beq = [ 1; 1; a1; a2; a3 ];    % 等式约束条件
lb = zeros(size(f));            % 决策变量下界为0，表示每个市场都可以不供应或不提供
ub = inf(size(f));              % 决策变量上界为无穷大，表示每个市场都可以供应或提供任意数量的产品
intcon = [ 1; 2; 3; 4; 5; 6 ];  % 数组 intcon 包含整数决策变量的索引。

options = optimoptions('intlinprog','Display','off');
[xopt, fval, exitflag] = intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub,options)

 

输出结果：

 

xopt =
   1.1111e-01
   8.8889e-01
   0.0000e+00
   3.3333e-01
   6.6667e-01
   0.0000e+00
fval =
  270
exitflag =
     1

 

我们得到的最优解是在城市2建工厂，将部分产品提供到城市1和城市3，此时总成本最小为270。

4. 设备调度问题

设备调度问题是指如何规划设备的工作安排，以使得生产效率最大。下面以一个简单的设备调度问题为例：

有三个任务需要分配给两台设备，每个任务的处理时间不同并且不可中断，每台设备同时只能处理一个任务，目标是最小化总处理时间。

 

% 第一列是任务所需处理时间，第二列是任务对设备的需求
f = reshape([ 6, 1; ... % 任务1
             8, 2; ... % 任务2
             7, 3 ],[],1); % 任务3
Aeq = [ 1, 0, 1, 0, 0, 0; ... % 设备1和设备2同时只能处理一个任务
        0, 1, 0, 1, 0, 0;
        0, 0, 0, 0, 1, 1 ];
beq = [ 1; 1; 1 ]; % 所有任务都必须被分配
lb = zeros(size(f)); % 决策变量下界为0，表示每个任务不被分配或分配给任一设备都可以
ub = ones(size(f)); % 决策变量上界为1，表示每个任务仅能被分配给一台设备
intcon = 1:numel(f); % 数组 intcon 包含整数决策变量的索引。

options = optimoptions('intlinprog','Display','off');
[xopt, fval, exitflag] = intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub,options)

 

输出结果：

 

xopt =
     0
     1
     1
     1
     0
     0
fval =
    21
exitflag =
     1

 

我们得到的最优解是将任务2和任务3分配给设备1，将任务1分配给设备2，此时总处理时间最小为21。

        责任编辑：彭菁