谈谈Matlab短时傅里叶变换和小波变换的时频

简介

本文主要给定一小段音频，通过短时傅里叶变换和小波变换制作时频图。音频的采样率为44100，

短时傅里叶变换

在matlab中，短时傅里叶变换的分析函数为spectrogram，其使用情况如下：

功能 ：使用短时傅里叶变换得到信号的频谱图。

语法 ：

[S,F,T,P]=spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs)

[S,F,T,P]=spectrogram(x,window,noverlap,F,fs)

说明：当使用时无输出参数，会自动绘制频谱图；有输出参数，则会返回输入信号的短时傅里叶变换。当然也可以从函数的返回值S,F,T,P绘制频谱图，具体参见例子。

参数 ：

x---输入信号的向量。默认情况下，即没有后续输入参数，x将被分成8段分别做变换处理，如果x不能被平分成8段，则会做截断处理。默认情况下，其他参数的默认值为：window---窗函数，默认为nfft长度的海明窗Hamming；noverlap---每一段的重叠样本数，默认值是在各段之间产生50%的重叠；nfft---做FFT变换的长度，默认为256和大于每段长度的最小2次幂之间的最大值。另外，此参数除了使用一个常量外，还可以指定一个频率向量F；fs---采样频率，默认值归一化频率。

Window---窗函数，如果window为一个整数，x将被分成window段，每段使用Hamming窗函数加窗。如果window是一个向量，x将被分成length(window)段，每一段使用window向量指定的窗函数加窗。所以如果想获取specgram函数的功能，只需指定一个256长度的Hann窗。

Noverlap---各段之间重叠的采样点数。它必须为一个小于window或length(window)的整数。其意思为两个相邻窗不是尾接着头的，而是两个窗有交集，有重叠的部分。

Nfft---计算离散傅里叶变换的点数。它需要为标量。

Fs---采样频率Hz，如果指定为[]，默认为1Hz。

S---输入信号x的短时傅里叶变换。它的每一列包含一个短期局部时间的频率成分估计，时间沿列增加，频率沿行增加。如果x是长度为Nx的复信号，则S为nfft行k列的复矩阵，其中k取决于window，如果window为一个标量，则k = fix((Nx-noverlap)/(window-noverlap))；如果window为向量，则k = fix((Nx-noverlap)/(length(window)-noverlap))。对于实信号x，如果nfft为偶数，则S的行数为(nfft/2+1)，如果nfft为奇数，则行数为(nfft+1)/2，列数同上。

F---在输入变量中使用F频率向量，函数会使用Goertzel方法计算在F指定的频率处计算频谱图。指定的频率被四舍五入到与信号分辨率相关的最近的DFT容器(bin)中。而在其他的使用nfft语法中，短时傅里叶变换方法将被使用。对于返回值中的F向量，为四舍五入的频率，其长度等于S的行数。

T---频谱图计算的时刻点，其长度等于上面定义的k，值为所分各段的中点。

P---能量谱密度PSD(Power Spectral Density)，对于实信号，P是各段PSD的单边周期估计；对于复信号，当指定F频率向量时，P为双边PSD。P矩阵的元素计算公式如下P(I,j)=k|S(I,j)|2，其中的的k是实值标量，定义如下对于单边PSD，计算公式如下，其中w(n)表示窗函数，Fs为采样频率，在0频率和奈奎斯特频率处，分子上的因子2改为1；

MATLAB程序：

[Au, Fs]=audioread('audio.mp3');   % Fs 采样率 44100
[B, F, T, P] = spectrogram(Au(:,1),1024,512,1024,Fs);   % B是F大小行T大小列的频率峰值，P是对应的能量谱密度
figure
imagesc(T,F,10*log10(abs(P)));
set(gca,'YDir','normal')
colorbar;
xlabel('时间 t/s');
ylabel('频率 f/Hz');
title('短时傅里叶时频图');

注意：

• nfft越大，频域的分辨率就越高（分辨率=fs/nfft），但离瞬时频率就越远；
• noverlap影响时间轴的分辨率，越接近nfft，分辨率越高，相应的冗余就越多，计算量越大，但计算机只要能承受，问题不大。

小波变换

首先，在matlab中，小波变换的分析函数为cwt，其使用情况如下：

功能 ：实现一维连续小波变换的函数。

语法 ：

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname')

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot')

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE')

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE', XLIM)

参数 ：

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname') 采用'wname'小波，在正、实尺度SCALES下计算向量一维小波系数。

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot') 除了计算小波系数外，还加以图形显示。

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE') 计算并画出连续小波变换的系数，并使用PLOTMODE对图形着色。

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot') 相当于 格式 COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE') 中的语法 COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'absglb')

COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE', XLIM) 能够计算并画出连续小波变换的系数。系数使用PLOTMODE和XLIM进行着色。其中：XLIM=[x1,x2]，并且有如下关系：1<=x1<=x2<=length(S)。

MODE值含义：

'lvl' scale-by-scale着色模式

'glb' 考虑所有尺度的着色模式

'abslvl'或'lvlabs' 使用系数绝对值的scale-by-scale着色模式

'absglb'或'glbabs' 使用系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式

COEFS行的大小等于SCALES尺度的长度，COEFS列的大小等于信号S的长度。

MATLAB程序：

totalscal=1024*16;
wavename='cmor3-3';
Fc=centfrq(wavename); % 小波的中心频率
c=2*Fc*totalscal;    
scals=c./(1:totalscal);
f=scal2frq(scals,wavename,1/Fs); % 将尺度转换为频率   频率在0-500Hz取1024
coefs = cwt(Au(totalscal,1),scals,wavename); % 求连续小波系数
t=0:1/Fs:(totalscal-1)/Fs;
figure
imagesc(t,f,abs(coefs));
set(gca,'YDir','normal')
colorbar;
xlabel('时间 t/s');
ylabel('频率 f/Hz');
title('小波时频图');