分布式放大器的基本原理和频率响应特性

本篇论文由电路设计大师Ginzton和Hewlett于1948年首次提出，堪称分布式放大器的开山鼻祖之作。在文章中，作者采用了直观的方法去理解并解释电路原理，对于当时的科研环境来说，钦佩他们的创新思维。读这篇文章，让人感觉就像哥伦布发现了新大陆一样，充满了探索的激情。这是一篇具有开创性和深远影响的论文，值得我们深入学习和研究。

分布式放大器*

作者爱德华·金兹顿是一位乌克兰裔美国工程师，对粒子线性加速器方面做出过杰出贡献。
另外是大名鼎鼎的惠普联合创始人Bill Hewlett。

摘要 - 本论文提出了一种新的宽带放大器设计原理。论文证明，通过沿人工传输线(artificial transmission lines)适当地分布普通电子管，可以获得比普通放大器电路具有更大的带宽。"最大增益带宽积"的常规概念并不适用于这种分布式放大器。分布式放大器的高频限制似乎是由栅极负载效应决定的。

分布式放大器为设计低通或带通放大器提供了方法。低通放大器可以设计成从直流到只有使用商用管可达到的数百兆赫的频率，且具有平坦的频率响应。

本论文包含的一般设计考虑因素包括：传输线错误终端匹配的效果；控制频率响应和相位特性的方法；提供所需增益的设计，且使用最少的电子管数量；以及对高频限制的讨论。放大器的噪声系数也得到了评估。

根据本文描述的原理设计的实用放大器已经被制造出来，并且验证了理论预测。实验工作将在即将发布的论文中描述。

I. 引言

随着电子技术的发展，对更宽带宽放大器的需求稳步增长。近年来，级联放大器级的传统技术已经被深入研究，并且已经表明，对于给定的电子管类型，无论级联放大器级之间的耦合系统多么复杂，都存在最大的“带宽增益积”。除了达到这个最大值的实际困难之外，这个基本限制决定了传统电子管和电路可以获得的最大带宽。

行波(traveling-wave)概念的引入为微波频率的宽带放大提供了一种新技术。原则上，可以制造出能够放大低频到微波的行波管。另一方面，行波管的电长度必须很长，并且实际限制使得此类行波管不可能用于远低于的频率。

迄今为止，尚未找到适用于超宽带的“视频”放大器的实用解决方案。

下面描述的分布式放大器提供了用于设计放大器的方法，该放大器具有从低音频(如果需要，甚至可以从直流开始)到高达几百MHz的频率的平坦频率响应。这是通过将行波概念应用于“视频”频率区域来实现的。通过这种方法，如将要示出的，传统的带宽限制被完全移除，高频限制完全由管内的高频效应决定，而不是由管外的电路效应决定。

应该指出，本文中描述的基本思想并不新颖，是由Percival首次披露的。然而，原因对作者来说并不明确，在文献中似乎也没有对这个想法的进一步讨论。"分布式放大器(distributed amplifier)"这个名字是由本文的作者提出的。

II. 基本原理

Wheeler和其他人已经证明，传统视频放大器的频率限制是由一个因子决定的，该因子与管的跨导与输入和输出电容乘积的平方根的比例成正比。很明显，仅仅并联电子管并不能帮助改善这一情况；的相应增加会被并联的电容的相应增加所抵消。下面将要描述的分布式放大器通过以特殊的方式并联电子管来克服这个困难，这种方式可以分离电子管的电容，同时几乎可以无限制地增加管的，而不会影响放大器的输入或输出阻抗。在最简单的形式中，这一结果是通过将电子管电容作为人工传输线中的分流元件(shunting element)来实现的。

图1显示了分布式放大器的结构。

图1 - 基本的分布式放大器。

在输入端1-1和端口2-2之间，有一条人工传输线，它由管的栅极-阴极电容和管之间的电感(或部分)组成。然后，栅极的特征阻抗是

如果将正确的终端阻抗连接到端口2-2，并且假定这条传输线是无耗的，那么可以证明在端口的驱动点阻抗与连接的管的数量无关。同样地，通过利用阳极-阴极的电容来分路另一组线圈，形成了第二条传输线。阳极线的阻抗也与管(段)的数量无关。连接到端口3-3和4-4的阻抗应等于阳极线的特征阻抗。连接到端口的阻抗将被称为栅极端接；连接到端口3-3的阻抗将被称为反向端接；连接到端口4-4的阻抗将被称为阳极端接。端口4-4是输出端口。

如此形成的两条传输线(根据设计)具有相同的传播速度。

连接到输入端口1-1的源会产生一个波沿着栅极传输线传播。当这个波到达分立管的栅极时，电流会在管的阳极电路中流动。然后，每个管会在阳极传输线中向两个方向传输波。如果反向端接是完美的，那么向左行进的阳极传输线中的波将被完全吸收，不会贡献到输出信号中。向右传输的阳极传输线中的波会全部相位相加，这可以通过检查输入和输出端口之间的各种可能的传输路径来验证。因此，输出电压与电子管的数量直接成比例。总的结果是，这个分立“级”的有效可以增加到任何所期望的值。因此，无论每个管(段)的增益有多低(即使它小于一)，只要每段的增益大于该段的传输线损耗，阳极传输线中的信号就会增加，只要使用足够数量的管，就可以使增益尽可能大。

图2 - 每级有n个管的两级分布式放大器。

当一个分布式放大器级中的增益足够大时，这些级可以按常规方式级联，如图2所示。

III. 级联

很容易证明，有一种将电子管分组的最佳方法。附录I显示，当每个级  的增益为 (自然对数底，等于2.72)时，产生所需增益所需的管数最少。每个这样的级有个部分，这些级级联次。因此，这样的放大器中有个管。

如果需要一个总增益，那么应该联级的级数为(见附录I)：

每个级中必须使用的总段数必须足够大，以便为该级提供的增益。的数量显然取决于所期望的带宽和将要使用的管的类型。将管的高频品质因素表示为带宽指数频率是方便的；也就是说，可以获得的最大带宽的单位增益。每个级中的段数量将是所期望带宽与此指数频率比例的简单函数。它是

其中

对于我们所讨论的情况，需要产生增益的段数量在图3中绘制出来，并且还绘出了常规级联放大器的情况。从这个图可以明显看出，当所需的最大频率大于正在使用的管的带宽指数频率时，分布式放大器是唯一可用的放大方法。此外，通常发现使用传统电路实现远高于理论50%的带宽是不切实际的；这是因为欲达到理论极限要求使用极其复杂的耦合电路，这几乎是不切实际的，并且会增加对地的杂散电容。但是在分布式放大器中则没有这个问题。

上述讨论中提出的基本思想是关于低通滤波器结构的。显然，该原理同样适用于带通滤波器。通过利用众所周知的直流放大技术，分布式放大器甚至可以在低至直流的频率下以级联方式工作。

图3 - 级联放大器和分布式放大器需要产生增益所需的管数。

IV. 频率响应特性

下面将根据图1和2所示类型的低通结构来讨论分布式放大器的频率响应特性。然而，下面的几个方程属于一般类型，只需进行简单的修改即可使分析适用于其他可能的结构。

由每级个段和级级联的放大器的电压增益是

其中的符号与前面的一样，

对于图1和2所示的情况，并假设两个传输线是相同的，

其中

在这些条件下，分布式放大器的增益变为

该方程的第二个因子表明图1和2所示的简单结构的增益是频率的函数。这是因为，当接近截止频率时，定滤波器段(这些传输线显然是定段，constant- section)的分路特征阻抗会迅速上升。这反过来又导致放大器的增益在截止附近急剧增加，产生一个大的不期望的峰(peak)。原则上，这个峰值可以被均衡，但是随着级联级数的增加，这会变得越来越困难。

有些情况下，高频端的峰并不一定有害，甚至可能是有益的。然而，有几种方法可以用来消除这个峰。以下将讨论其中的三种方法。

(a) 配对阳极或配对栅极连接

图4(a)显示了电子管沿传输线的排列与之前讨论的排列略有不同。管的栅极仍然沿栅极传输线周期性连接，但阳极如图所示配对，在阳极电容现在缺失的位置放置一个虚拟电容。这种特殊的管排列方式称为配对阳极连接。可以将栅极配对并使阳极周期性排列，这称为配对栅极连接。两种电路的作用类似，下面仅讨论配对阳极连接。

图4 - (a) 配对阳极型分布式放大器；(b) 配对阳极放大器中的电流相位关系。

这种配对阳极电路的工作原理可以通过参考图4(b)中在公共接点处阳极电流的矢量图来理解。设为其中一个管的电流，为另一个管的电流。两个管的栅极之间的相移决定了和之间的相角，并由以下公式给出：

其中是该段的归一化频率，如上面所定义的，所得电流矢量是的函数，并且等于

显然，该因子是该截面的特征阻抗函数的倒数。因此，阳极传输线中产生的电压( 和的乘积)在滤波器的通带上将保持恒定。

通过使一些阳极不配对，可以使级的增益具有介于完全配对级的平坦特性和定部分的上升特性之间的频率响应。控制增益上升程度是该电路的一个非常有价值的特性。这种增益的增加可以用来补偿由于在高频时传输线的衰减导致的增益下降。

由于大多数五极管的阳极对阴极电容约为栅极对阴极电容的二分之一，因此在阳极传输线中添加额外电容不会显着降低所设计的截止频率。

(b) 负互感电路

从原始设计的角度来看，将要描述改善频率响应的方法稍微复杂一些，但具有几个令人满意的特性，我们认为这些特性非常重要。基本连接如图5(a)所示，它与图1的唯一不同之处在于，相邻的线圈是在同一形状上并且方向相同地绕制的，并且具有大的耦合系数。通过常规的变压器理论，每个段都可以分解为图5(b)。通过适当的设计，这可以等效为常规的推演段，如图5(c)所示。如果互感是负的，正如我们所讨论的情况，常数将大于1。这有两个非常理想的特性。首先，大于1导致段的相移更加线性。如果要级联大量的段，这就变得特别重要。其次，导致电容的值比如果要使用常数部分时要大。其次， 导致电容  的值比使用常数  部分所需的值更大。对于给定的电容，可以在相同带宽下增加每部分的增益，或者在相同增益下增加带宽。

图5 - (a)使用线圈之间互耦的电路； (b)根据变压器理论等效于(a)的电路； (c) 等效于(a)和(b)的推演滤波器电路。

公式(9)显示了栅极到阳极的增益，公式(10)显示了图6所示的个管连接的段的相移。该等式在附录II中推导。

图6 - 使用线圈间互感的阶分布式放大器。

其中

在其中 在幅度或相位容差所需的最大频率
  覆盖因子，根据图9确定所需的公差值
 归一化频率函数
  从图9中选择的所需的设计参数。

放大器段的时间延迟是相移关于角频率的导数，即

有趣的是，除了数值常数之外，增益函数和延迟函数都是相同的。图7和图8显示了四个值的相对增益、时间延迟和相移作为归一化频率的函数。

图7 - 互感线圈放大器的相对增益和时间延迟与归一化频率的关系。

图8 - 使用互感线圈放大器相移与归一化频率的关系。

图9 - 互感线圈放大器的容差或相位线性度百分比以及覆盖频带百分比。

图9被设计为允许在相位或幅度线性度中选择任何期望的容差作为频带覆盖百分比的函数，在该容差可以被保持。

(c) 桥T连接

均衡频率响应的第三种方法是利用图10(a)所示的桥T连接。根据简单的变压器理论，这相当于图10 (b)和10 (c)所示的电路。图10(c)对应于线圈之间具有相互耦合并被阻抗分流的支路。如果是管电容，是管电容，那么，使用图10(d)，电路可以转换为格型网络(附录III)并且具有臂

其中

图10 - 桥T连接的等效电路。

这个格型网络如图10(e)所示。其特征阻抗为

如果，那么这个等式就不依赖于频率，其阻抗变为

如果如前所定义，那么段的相移和时间延迟变为

段的级增益将是

图11 - (a)桥T放大器的覆盖率和容差；(b)桥T放大器的增益和延迟。

其中

参数和由下式给出

其中是先前所定义的，但在本例中是从图11(a)中选择，图11(a)给出了和作为耦合系数的函数。

在的典型情况下的增益和时间延迟如图11(b)所示。

V. 传输线终端失配的影响

在上面的所有讨论中，都假设传输线已完美匹配。首先需要指出的是，一般来说，人工传输线需要用适当的半段和等于传输线特征阻抗的电阻来端接。这是按照常规方式完成的，不再详细描述。然而，在任何实际情况下，端接都不可能是完美的。所有四组终端都可能有反射。这些反射的影响可以参考图12(a)来理解，图12(a)是分布式放大器的一级的示意图。应假设传输线是无耗的，并且所有段都是相同的。每个级都有度的相移，并且每条线的每一端都由终端半段终止。假设终端半段的相移为度。如果信号被引入栅极传输线，则该信号的一部分将从栅极终端反射。如果是反射系数，则反射波的振幅为，其中。为了简单起见，假设来自输入和阳极终端的二次反射可以忽略不计。反射电压将出现在各个管子的栅极上，并将矢量叠加到原始波上。以类似的方式，可以预期阳极传输线中的反向终端会产生反射。分布式放大器输出端的净电压就是所有这些电压的矢量和。仅由反射引起的净电压为

忽略反射，输出端信号电压为

其中

每个段的放大率
  输入信号
  每级管数

反射电压与信号电压的比率由给出，即

该方程预测了反射的重要性。当和时，该函数的大小绘制在图12(b)中。从 (26)和图12(b)可以明显地看出，频带中心附近的反射电压的相对幅度取决于，并且较大的峰偏向频带的边缘。

图12 - (a)分布式放大器的示意图，显示相移和终端反射；(b)信号与反射电压之比。

从实际的角度来看，对于较低频率的反射系数，即值较低的地方，其接近于零。当接近时，较大的峰值倾向于移到放大器有用范围的边缘。此外，正常常数节的凹面相位特性将进一步将这些较大的峰值挤向频率带的上端。那么，显然，随着节的数量的增加，小的不匹配的严重程度就会降低。

实际输出电压是标称输出信号和反射信号的矢量和。图13显示了当假设小于1且时，和时输出电压的变化幅度。如果小于(通常是这种情况)，则对图13所示的曲线的影响将是将其向右并根据(27)稍微向下移动。

当段数较小时，即小于四段时，可以选择终端半段中的值，使得特征阻抗和终端电阻等于与图12(b)的最大值之一一致的频率。这将进一步趋向于减少由于不完美终端的反射效应。

图13 - 输出电压的变化。

VI. 渐变阳极传输线

在需要将分布式放大器运行到低于阳极传输线最优设计阻抗的情况下，可以在阳极传输线中使用所谓的渐变传输线段。参考图14，第一个管子运行在一个特征阻抗为的传输线段中，该线路段没有终端，所有的阳极电流都会流经这个段。如果下一个段的特征阻抗为，那么这个断点处将反射出一个电流为的电流，根据基尔霍夫定律，一个电流为的电流将流入新的段。然而，从第二个管流入这个连接点的电流将产生一个的电流回流到线路中，正好抵消反射电流，并产生一个的正向电流，加上第一个管的正向电流，将有流入新的段中。在下一个连接点，第三段应该有一个等于前一段的的特征阻抗，或者说。然后，显然，线路的输出阻抗将是，其中是初始阻抗，是每段的段数。因此，输出管的整个电流可以有效地流入负载中，而无需让一半的电流流经负载和一半的电流流入反向终端。

图14 - 渐变线中的电流分布。

VII. 高频效应

当试图建立一个分布式放大器并在超过的频率上运行时，需要考虑引线电感、栅极负载和线路损耗的影响。

(a) 附加损耗

众所周知，串联电阻和并联电导会在滤波器中产生衰减。方程(28)是描述这种耗散效应的一个很好的近似。从这个方程中我们可以看出，

其中

衰减，单位是奈珀
  电容器的值
  线圈的值
  归一化频率函数
  电容上的并联电导
  与电感串联的电阻
  段间相移，单位是弧度

耗散产生的衰减在通带中与线圈和电容器的值的倒数之和成正比，与相位函数的归一化斜率乘以归一化频率函数成正比。由于常数段的相位函数是凹的，并且在截止附近急剧上升，因此在截止频率附近会出现明显的衰减增加。考虑到附加耗散效应，如那些从使用负互阻段获得的线性相位函数，其优点也立即显现出来。

(b) 引线电感

栅极和阳极电路中的引线电感具有降低截止频率并在截止附近产生峰的作用。使用负互感可以完全补偿掉这种影响。需要修改前面讨论的负互感电路的常数和，以校正引线电感的存在。以下方程未经证明而给出，并显示需要如何修改和以补偿栅极(或阳极)引线电感。

其中

阴极引线电感对电子管的影响要严重得多，该电感与栅极到阴极电容一起，产生了一个输入栅极电导，其值等于

该电导的影响将在下一节中讨论。

(c) 栅极损耗的影响

在高频下，有两个栅极负载源。其中之一如上所述，是由于电流流过栅极到阴极电容和阴极引线电感造成的。其中第二个是渡越时间效应，它也会产生栅极电路的电阻负载。这两个负载电导均近似与频率的平方成正比。这两种效应的相对重要性取决于管子的几何形状

因此，在高频时，输入电阻接近栅极传输线的特征阻抗，衰减会迅速上升。这如(32)所示，其中给出了由于的栅极负载电导而导致的增益损失分数，以及管子的 、段的增益和相位函数的归一化斜率。

对于定节，等于，对于适当设计的带有负互阻的节，它大约等于2。式(32)的推导在附录IV中给出。

VIII. 分布式放大器中的噪声

在任何扩展到高频的放大器中都需要考虑四种基本且不可避免的噪声源，这些是：

(a) 输入阻抗的热噪声。
(b) 电子管中的电子流产生的散粒噪声。
(c) 与高频传输时间效应相关的栅极噪声。
(d) 等效栅极负载阻抗中的热噪声，该热噪声是由于栅极至阴极电容和阴极引线电感而在电子管的阴极和栅极之间产生的。

理想的放大器应该只在输出端产生由放大器的输入阻抗的热噪声引起的噪声。输入阻抗的热噪声可以作为比较的标准，所有其他噪声都可以用它来衡量。

下面将讨论这些不同的噪声是如何出现在分布式放大器的输出中的。分析将对单级分布式放大器进行，如图1所示。

(a) 热噪声

栅极传输线的两端都有电阻，这两者都会产生热噪声。输入端产生的噪声将导致输出端出现噪声电压，就如同一个信号的表现一样。由于栅极终端产生的噪声在栅极线上产生噪声波，该噪声波被管子放大，噪声信号以取决于每个段的相移的方式，最后叠加到阳极传输线中。由于反向波的阳极传输线中的噪声电压的叠加是一个已经在第四节中考虑过的数学问题。将由于输入阻抗产生的噪声功率称为，由于栅极终端产生的噪声功率称为，

在频率处频带中的总热噪声输出，

其中  瓦
 玻尔兹曼常数   终端温度，
  要测量噪声的带宽(以 cps 为单位)
  频率
 各段放大增益
  每节相移
  每个段的部分数

式(33)中的第一项是输入阻抗中产生的放大噪声。第二项是由于栅极终端产生的噪声产生； 当  等时，其值可以为1，但一般情况下小于1。该噪声功率对每段相移的函数依赖性与图12(b)中针对和的栅极终端电压反射的平方相同。从(33)和图12(b)可以看出，与输入阻抗引起的噪声相比，栅极终端引起的热噪声通常很小。只有在直流和截止频率处这两项才变得相等。

(b) 散粒效应噪声

散粒效应噪声是由于电子从阴极随机发射而产生的。这种噪声的影响可以用栅极电路中的电阻来表示，这个虚电阻所生成的噪声与在管子的阳极电路中实际观察到的噪声一样多。如果从栅极向后看向输入端子的阻抗可以比该噪声电阻高得多，那么与热噪声相比，由于散粒效应引起的噪声将会很小。在低频和窄带放大器中，可以提高输入阻抗，因此可以忽略散粒效应噪声。在宽带放大器中，包括分布式放大器，输入阻抗不能做得很高，因此，由散粒效应产生的噪声不能被忽略。

然而，在分布式放大器的情况下，尽管与等效噪声阻抗相比，栅极对地阻抗并不高，但仍可以使散射效应噪声变得可以忽略不计。以下的讨论可以说明这一点。每个管子都在其阳极电路中独立地产生随机噪声电流。噪声电流在阳极传输线上产生电压，这些电压在输出端随机相加。噪声电压的随机相加可以通过取各个管子产生的噪声功率的和来获得；因此，如果管子是相同的，那么总的噪声功率将与管子的数量成正比。另一方面，输出端的信号与管子的数量成正比，信号功率与管子的数量的平方成正比。因此，信噪比将与成正比，其中是管子的数量。因此，通过使用足够多的部分，就可以使信号与散射效应噪声相比大得多。

散粒噪声的影响可以用常规的方式计算。给出以下结果，无需证明。分布式放大器输出中的散粒效应噪声功率为

其中是每个段的放大率。因此，对于给定的管子和所需的带宽，，和是已知常数。

(c) 高频噪声

通过将传输时间效应和阴极引线电感表示为每个管中从栅极到接地的分流电阻，可以将它们考虑在内。与这个等效电阻相关的有一个噪声，可以用标准方式对其进行评估。

这种噪声在分布式放大器的输出中的行为非常复杂。首先，噪声的大小是频率的快速函数(每周期的噪声功率大致与频率的平方成正比)。其次，每个电子管都会产生噪声电压，这些噪声电压从电子管向两个方向传播。因此，由一个电子管产生的噪声会被所有其他电子管放大。此外，这种放大依赖于电子管在分布式放大器中的特定位置。

图15显示了分布式放大器的单个部分，指出了高频噪声的来源。虽然对两种噪声源的相对大小的讨论不在本文的讨论范围之内，但应指出两种效应都由电子管内部的几何因素决定。为了本文的讨论，我们假设可以找到一个等效电阻和一个伴随电压，这两个量可以解释现有的噪声。如果可以产生的噪声功率是，那么可以证明，由于高频效应在输出中的总噪声功率由下式给出

其中是一个依赖于和的常数。在直流和接近截止频率处，

在中频附近，

因此，可以看出，由于栅极负载效应在输出中的噪声功率与成正比，而信号电压与成正比。因此，如果来自该源的噪声非常明显，那么增加段的数量会减小信噪比。然而，由于与衰减有关的原因，这种噪声并不太重要。下面将讨论这个问题。

图15 - 段中的噪声源(Terman之后的符号)。

(d) 分布式放大器的噪声因子

放大器输出的噪声是上述三种噪声的总和：

或

噪声因子可以定义为输出端的总噪声与输入阻抗的噪声之比。因此，

其中符号如上面所使用的。将这些项的值代入(33)、(34)和(35)中，并简化，

在其中，假设

(1) ，为了简化
(2) ，将在下面解释原因
(3) 是一个数值因子，大约等于5，它考虑了与相关的噪声的实验观测值

还应记住，是频率的函数：

从(40)可以看出，放大器的噪声因子依赖于和的权衡。因此，人们可能会认为，应该有一个最小噪声的的最优值。实际上，这样的选择几乎没有物理意义。首先，是频率的函数；其次，如果频率响应要保持一致，人们必须选择在最高频率下的电子管，以避免衰减。在这些条件下，相关的高频噪声也会很小。因此，通过使用足够多的段，可以使散射噪声变得可以忽略不计，并且可以使得噪声因子接近1，除非在低频和高频，由于在栅极终端产生的噪声，噪声因子会接近于2。

IX. 结论

本文所述的放大器利用了空间分布放大的原理，因此在某种程度上与行波管有一些关系。然而，它在操作原理和应用领域上都有着根本的不同。它将允许构建宽带放大器，其最高截止频率远超过以前通过传统手段可获得的频率。无疑将会开发出专门用于这种应用的新型电子管，这种电子管应该具有良好的栅极和阳极之间的物理分离，最好在栅极和阳极之间有一个接地平面，屏蔽层、阴极和发热体可以接地。这种电子管的增益与带宽指数应尽可能高，而且电子管应该尽可能小的栅极负载。现有的电子管在某些方面满足了这些要求，但是我们认为，如果专门为这个目的设计电子管，可以获得更好的性能。尽管这里概述的技术是具体详细的，但它们有更广泛的应用范围。似乎没有必要将分布式放大器的原理限制在四极管上，而应该适用于其他类型的放大器管，比如速度调制设备。

已经进行了实验，验证了本文给出的预测。例如，一个两级放大器，每级使用七个6AK5电子管，频率响应基本上是0到，增益是。即将发表的论文将描述几种这样的放大器，该论文将对此处提出的原理进行实验确认。

附录 I

增益关系

图1显示了低通类型的分布式放大器的基本电路。本附录的目的是证明在第III和IV节中陈述的增益关系。

假设能够在源和栅极传输线之间，以及在各级之间阻抗匹配。

如果应用到栅极传输线的电压是，那么每个阳极电路中将流动的电流将是。每个电子管的阳极和阴极之间呈现的阻抗是。因此，由单个电子管产生的电压是。因此，段的增益是

然而，如果这样的段要串联，那么，一般来说，必须提供一个变压器，将阳极传输线匹配到下一段的栅极传输线。因此，下一段栅极的电压将是。因此，从栅极传输线到栅极传输线测得的单级增益是

如果这样的段被串联次，那么串联段的增益结果将是

这就是第IV节中给出的(4)。

现在可以利用和实际上并不是真正独立的变量的事实。更基本的参数是：栅极到阴极的电容、阳极到阴极的电容，以及期望的截止频率。使用这些参数，可以用、和的表达式写出传输线的特征阻抗。然后，可以得出

Wheeler的带宽指数频率在第III节中定义。使用这个定义，(43)和(44)变为

在串联放大器中，电子管的总数为。目标是确定生成给定增益所需的最少管子数。可以按如下进行推导：

如果每段的增益是

解出，

因此，

对(48)进行的微分，并将结果设为零，可以发现当

时，可以得到最小的。从这个和(47)可以得出，相应的每个段的段数是

这就是第III节中给出的(3)。从(49)可以得出，对于最优的管子利用率，每个段的增益应该是。

附录 II

负互感连接

如果要使用图16中所示的导出耦合段，就需要计算传输特性；即每段阳极传输线每伏特栅极传输线产生的电压。

图16 - 负互感连接和原理图符号。

栅极驱动电压由下式给出，

其中

图17 - 负互感连接的阳极等效电路

以及

线路每段的相移是，但是

或者

可以从图17中重新绘制的阳极电路中轻松计算出每段阳极传输线产生的电压。

但是

因此，传输特性由下式给出

每段的延迟由下式给出

将物理结构与图18所示的期望结构进行对比，显然有

图18 - 负互感连接及其推演等价电路。

在定节中，不是推演，

在上述推演结构中，

然后将代入振幅响应、相位偏移和相位延迟的方程，以便将结果与定操作进行比较，可以发现，

其中(62)中的等于

附录 III

桥T连接

如图19(a)所示的桥T结构可以通过Bartlett's二等分定理等效为图19(c)所示的栅极部分。然而，特征阻抗由以下公式给出：

其中

如果，那么是与频率无关的，等于。

图19 - 桥T接连接和原理图

格型网络的传播函数定义为

但当

其中如前所定义为，这里认为。

由于总是虚数，所以传播函数是虚数，因此只表示相移，没有衰减，即一个全通段。那么相移就是

延迟为

栅极驱动的计算方式与附录II中的方式相同，不同的是图20显示有一部分输入电流流入桥接臂。因此，电容的净电流为

所以

或者

或者

图20 - 桥T连接电流

可以从图21中重新绘制的阳极电路中轻松计算出每段阳极传输线产生的电压。由于电流而产生的两端的桥接臂之间不存在电压差，所以可以省略，允许串联臂和端接电阻并联。因此，

但是

图21 - 桥T连接的等效阳极电路

因此，传输特性由下式给出

将物理结构与图22所示的期望结构进行对比，显然有 和。因此，

耦合系数为

或者

图22 - 桥T连接及其等效电路

因此，传输特性可以给出为，

以及延迟为，

根据这些方程，可以绘制出的函数曲线，用于设计各种参数，即耦合系数。

附录 IV

由于栅损耗导致的衰减

并联电容器上的并联电导会引入每段的衰减，由下式给出：

其中 每段的相移
 截止频率
 归一化频率函数

如果电压被应用到栅极传输线的第一段，那么个段的输出电压将由以下公式给出：

然而，等于，因此

其中是忽略损耗的段增益。

因此，增益损失的分数由下式给出：

　　审核编辑：汤梓红