傅里叶变换和系统的频域分析(2)

傅里叶变换和系统的频域分析

傅里叶级数

由信号的分解可知，周期信号f(t)在区间(t0,t0+T)可以展开成在完备正交信号空间的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为"三角型傅里叶级数"或"指数型傅里叶级数"，统称傅里叶级数。

需要指出，只有当周期信号满足狄利克雷条件时，才能展开成傅里叶级数。

狄利克雷条件：1、函数在任意区间内连续，或只有有限个第一类间断点(可去间断点和跳跃间断点)。2、在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。(条件的意义是使函数的傅里叶级数不仅收敛，并且收敛于f(x)。)

周期信号的分解

设有周期实信号f(t)，它的周期是T，角频率Ω=2πF=2π/T,

它可分解为

式中的系数an，bn称为傅里叶系数，它们的求法如下

式中T为函数的周期，Ω=2π/T为角频率，由上式可见，an和bn都是n(或nΩ)的函数，其中an是n(或nΩ)的偶函数，bn是(或nΩ)的奇函数，a0/2为直流分量。

通过辅助角公式将三角式合并即可得谐波式

式中

可见任意满足狄利克雷条件周期信号是由各次谐波分量组成的。

奇、偶函数的傅里叶级数

SIMPLE LIFE

注：1、奇函数乘以奇函数为偶函数；奇函数乘以偶函数为奇函数；偶函数乘以奇函数为奇函数。

2、奇函数在一个周期的积分为零；偶函数在一个周期内的积分等于其半个周期积分的两倍。

(1)f(t)为偶函数

若函数f(t)是时间t的偶函数，那么an和bn的求法便可进行化简。

(2)f(t)为奇函数

若函数f(t)是时间t的奇函数，那么an和bn的求法便可进行化简。

实际上，任意函数都可以分解为奇函数和偶函数两部分，即

(3)f(t)为奇谐函数

如果函数f(t)的前半周期波形移动T/2后，与后半周期波形相对于横轴对称，则这种函数称为半波对称函数或奇谐函数。

其傅里叶级数展开式中将只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即

傅里叶级数的指数形式

周期信号分解时，如果使用的完备正交函数集是复指数集，那么周期信号所展开的无穷级数就称为指数型傅里叶级数，即

Fn是指数型傅里叶级数的系数，它的求法为

其中Fn为复数，可表示为