十分钟读懂旋转编码（RoPE）

深度学习自然语言处理 2023-09-05 14741

描述

旋转位置编码（Rotary Position Embedding，RoPE）是论文 Roformer: Enhanced Transformer With Rotray Position Embedding 提出的一种能够将相对位置信息依赖集成到 self-attention 中并提升 transformer 架构性能的位置编码方式。而目前很火的 LLaMA、GLM 模型也是采用该位置编码方式。

和相对位置编码相比，RoPE 具有更好的外推性，目前是大模型相对位置编码中应用最广的方式之一。

备注：什么是大模型外推性？

外推性是指大模型在训练时和预测时的输入长度不一致，导致模型的泛化能力下降的问题。例如，如果一个模型在训练时只使用了 512 个 token 的文本，那么在预测时如果输入超过 512 个 token，模型可能无法正确处理。这就限制了大模型在处理长文本或多轮对话等任务时的效果。

旋转编码RoPE

1.1 基本概念

在介绍 RoPE 之前，先给出一些符号定义，以及基本背景。

首先定义一个长度为的输入序列为：

其中表示输入序列中第个 token，而输入序列对应的 embedding 表示为：

其中表示第个 token 对应的维词嵌入向量。接着在做 self-attention 之前，会用词嵌入向量计算向量同时加入位置信息，函数公式表达如下：

其中表示第个 token 对应的词向量集成位置信息之后的 query 向量。而和则表示第个 token 对应的词向量集成位置信息之后的 key 和 value 向量。而基于 transformer 的位置编码方法都是着重于构造一个合适的函数形式。而计算第个词嵌入向量对应的 self-attention 输出结果，就是和其他都计算一个 attention score ，然后再将 attention score 乘以对应的再求和得到输出向量：

1.2 绝对位置编码

对于位置编码，常规的做法是在计算 query，key 和 value 向量之前，会计算一个位置编码向量加到词嵌入上，位置编码向量同样也是维向量，然后再乘以对应的变换矩阵：

而经典的位置编码向量的计算方式是使用 Sinusoidal 函数：

其中表示位置维度向量中的第位置分量也就是偶数索引位置的计算公式，而就对应第位置分量也就是奇数索引位置的计算公式。

1.3 2维旋转位置编码

论文中提出为了能利用上 token 之间的相对位置信息，假定 query 向量和 key 向量之间的内积操作可以被一个函数表示，该函数的输入是词嵌入向量，和它们之间的相对位置：

接下来的目标就是找到一个等价的位置编码方式，从而使得上述关系成立。假定现在词嵌入向量的维度是两维，这样就可以利用上 2 维度平面上的向量的几何性质，然后论文中提出了一个满足上述关系的和的形式如下：

这里面 Re 表示复数的实部。进一步地，可以表示成下面的式子：

看到这里会发现，这不就是 query 向量乘以了一个旋转矩阵吗？这就是为什么叫做旋转位置编码的原因。同理，可以表示成下面的式子：

最终可以表示如下：

关于上面公式（8）~（11）的具体推导，可以参见文章最后的附录，或者参考文章：一文看懂 LLaMA 中的旋转式位置编码（Rotary Position Embedding）。 1.4 扩展到多维

将2维推广到任意维度，可以表示如下：

内积满足线性叠加性，因此任意偶数维的 RoPE，我们都可以表示为二维情形的拼接，即

将 RoPE 应用到前面公式（4）的 Self-Attention 计算，可以得到包含相对位置信息的 Self-Attetion：

其中，。

值得指出的是，由于是一个正交矩阵，它不会改变向量的模长，因此通常来说它不会改变原模型的稳定性。 1.5 RoPE 的高效计算

由于的稀疏性，所以直接用矩阵乘法来实现会很浪费算力，推荐通过下述方式来实现 RoPE：

其中是逐位对应相乘，即计算框架中的运算。从这个实现也可以看到，RoPE 可以视为是乘性位置编码的变体。总结来说，RoPE 的 self-attention 操作的流程是：对于 token 序列中的每个词嵌入向量，首先计算其对应的 query 和 key 向量，然后对每个 token 位置都计算对应的旋转位置编码，接着对每个 token 位置的 query 和 key 向量的元素按照两两一组应用旋转变换，最后再计算 query 和 key 之间的内积得到 self-attention 的计算结果。论文中有个很直观的图片展示了旋转变换的过程：

1.6 远程衰减

可以看到，RoPE 形式上和前面公式（6）Sinusoidal 位置编码有点相似，只不过 Sinusoidal 位置编码是加性的，而 RoPE 可以视为乘性的。在的选择上，RoPE 同样沿用了 Sinusoidal 位置编码的方案，即，它可以带来一定的远程衰减性。

具体证明如下：将两两分组后，它们加上 RoPE 后的内积可以用复数乘法表示为：

记

并约定，那么由 Abel 变换（分部求和法）可以得到：

所以

因此我们可以考察随着相对距离的变化情况来作为衰减性的体现：

从图中我们可以看到随着相对距离的变大，内积结果有衰减趋势的出现。因此，选择，确实能带来一定的远程衰减性。论文中还试过以为初始化，将视为可训练参数，然后训练一段时间后发现并没有显著更新，因此干脆就直接固定了。

RoPE实验

我们看一下 RoPE 在预训练阶段的实验效果：

从上面可以看出，增大序列长度，预训练的准确率反而有所提升，这体现了 RoPE 具有良好的外推能力。 下面是在下游任务上的实验结果：

其中 RoFormer 是一个绝对位置编码替换为 RoPE 的 WoBERT 模型，后面的参数（512）是微调时截断的maxlen，可以看到 RoPE 确实能较好地处理长文本语义。

RoPE代码实现

Meta 的 LLAMA 和清华的 ChatGLM 都使用了 RoPE 编码，下面看一下具体实现。

3.1 在LLAMA中的实现

# 生成旋转矩阵
def precompute_freqs_cis(dim: int, seq_len: int, theta: float = 10000.0):
    # 计算词向量元素两两分组之后，每组元素对应的旋转角度	heta_i
    freqs = 1.0 / (theta ** (torch.arange(0, dim, 2)[: (dim // 2)].float() / dim))
    # 生成 token 序列索引 t = [0, 1,..., seq_len-1]
    t = torch.arange(seq_len, device=freqs.device)
    # freqs.shape = [seq_len, dim // 2] 
    freqs = torch.outer(t, freqs).float()  # 计算m * 	heta

    # 计算结果是个复数向量
    # 假设 freqs = [x, y]
    # 则 freqs_cis = [cos(x) + sin(x)i, cos(y) + sin(y)i]
    freqs_cis = torch.polar(torch.ones_like(freqs), freqs) 
    return freqs_cis

# 旋转位置编码计算
def apply_rotary_emb(
    xq: torch.Tensor,
    xk: torch.Tensor,
    freqs_cis: torch.Tensor,
) -> Tuple[torch.Tensor, torch.Tensor]:
    # xq.shape = [batch_size, seq_len, dim]
    # xq_.shape = [batch_size, seq_len, dim // 2, 2]
    xq_ = xq.float().reshape(*xq.shape[:-1], -1, 2)
    xk_ = xk.float().reshape(*xk.shape[:-1], -1, 2)

    # 转为复数域
    xq_ = torch.view_as_complex(xq_)
    xk_ = torch.view_as_complex(xk_)

    # 应用旋转操作，然后将结果转回实数域
    # xq_out.shape = [batch_size, seq_len, dim]
    xq_out = torch.view_as_real(xq_ * freqs_cis).flatten(2)
    xk_out = torch.view_as_real(xk_ * freqs_cis).flatten(2)
    return xq_out.type_as(xq), xk_out.type_as(xk)

class Attention(nn.Module):
    def __init__(self, args: ModelArgs):
        super().__init__()

        self.wq = Linear(...)
        self.wk = Linear(...)
        self.wv = Linear(...)

        self.freqs_cis = precompute_freqs_cis(dim, max_seq_len * 2)

    def forward(self, x: torch.Tensor):
        bsz, seqlen, _ = x.shape
        xq, xk, xv = self.wq(x), self.wk(x), self.wv(x)

        xq = xq.view(batch_size, seq_len, dim)
        xk = xk.view(batch_size, seq_len, dim)
        xv = xv.view(batch_size, seq_len, dim)

        # attention 操作之前，应用旋转位置编码
        xq, xk = apply_rotary_emb(xq, xk, freqs_cis=freqs_cis)

        # scores.shape = (bs, seqlen, seqlen)
        scores = torch.matmul(xq, xk.transpose(1, 2)) / math.sqrt(dim)
        scores = F.softmax(scores.float(), dim=-1)
        output = torch.matmul(scores, xv)  # (batch_size, seq_len, dim)
  # ......

这里举一个例子，假设 batch_size=10, seq_len=3, d=8，则调用函数 precompute_freqs_cis(d, seq_len) 后，生成结果为：

In [239]: freqs_cis
Out[239]: 
tensor([[ 1.0000+0.0000j,  1.0000+0.0000j,  1.0000+0.0000j,  1.0000+0.0000j],
        [ 0.5403+0.8415j,  0.9950+0.0998j,  0.9999+0.0100j,  1.0000+0.0010j],
        [-0.4161+0.9093j,  0.9801+0.1987j,  0.9998+0.0200j,  1.0000+0.0020j]])

以结果中的第二行为例（对应的 m = 1），也就是：

最终按照公式（12）可以得到编码之后的。 注意：在代码中是直接用 freqs_cis[0] * xq_[0] 的结果表示第一个 token 对应的旋转编码（和公式 12 计算方式有所区别）。其中将原始的 query 向量转换为了复数形式。

In [351]: q_ = q.float().reshape(*q.shape[:-1], -1, 2)

In [352]: q_[0]
Out[352]: 
tensor([[[ 1.0247,  0.4782],
         [ 1.5593,  0.2119],
         [ 0.4175,  0.5309],
         [ 0.4858,  0.1850]],

        [[-1.7456,  0.6849],
         [ 0.3844,  1.1492],
         [ 0.1700,  0.2106],
         [ 0.5433,  0.2261]],

        [[-1.1206,  0.6969],
         [ 0.8371, -0.7765],
         [-0.3076,  0.1704],
         [-0.5999, -1.7029]]])

In [353]: xq = torch.view_as_complex(q_)

In [354]: xq[0]
Out[354]: 
tensor([[ 1.0247+0.4782j,  1.5593+0.2119j,  0.4175+0.5309j,  0.4858+0.1850j],
        [-1.7456+0.6849j,  0.3844+1.1492j,  0.1700+0.2106j,  0.5433+0.2261j],
        [-1.1206+0.6969j,  0.8371-0.7765j, -0.3076+0.1704j, -0.5999-1.7029j]])

这里为什么可以这样计算？ 主要是利用了复数的乘法性质。我们首先来复习一下复数乘法的性质：

因此要计算：

可以转化为计算：

所以可以将公式（12）转化为两个复数的乘法运算。 3.2 在ChatGLM中的实现 和 LLAMA 的实现方式相差不大。代码如下：

class RotaryEmbedding(torch.nn.Module):
    def __init__(self, dim, base=10000, precision=torch.half, learnable=False):
        super().__init__()
         # 计算 	heta_i
        inv_freq = 1. / (base ** (torch.arange(0, dim, 2).float() / dim))
        inv_freq = inv_freq.half()

        self.learnable = learnable
        if learnable:
            self.inv_freq = torch.nn.Parameter(inv_freq)
            self.max_seq_len_cached = None
        else:
            self.register_buffer('inv_freq', inv_freq)
            self.max_seq_len_cached = None
            self.cos_cached = None
            self.sin_cached = None
        self.precision = precision

    def forward(self, x, seq_dim=1, seq_len=None):
        if seq_len is None:
            seq_len = x.shape[seq_dim]
        if self.max_seq_len_cached is None or (seq_len > self.max_seq_len_cached):
            self.max_seq_len_cached = None if self.learnable else seq_len
            # 生成 token 序列索引 t = [0, 1,..., seq_len-1]
            t = torch.arange(seq_len, device=x.device, dtype=self.inv_freq.dtype)
            # 对应m * 	heta
            freqs = torch.einsum('i,j->ij', t, self.inv_freq)
            # 将 m * 	heta 拼接两次，对应复数的实部和虚部
            emb = torch.cat((freqs, freqs), dim=-1).to(x.device)
            if self.precision == torch.bfloat16:
                emb = emb.float()

            # [sx, 1 (b * np), hn]
            cos_cached = emb.cos()[:, None, :]  # 计算得到cos(m*	heta)
            sin_cached = emb.sin()[:, None, :]  # 计算得到cos(m*	heta)
            if self.precision == torch.bfloat16:
                cos_cached = cos_cached.bfloat16()
                sin_cached = sin_cached.bfloat16()
            if self.learnable:
                return cos_cached, sin_cached
            self.cos_cached, self.sin_cached = cos_cached, sin_cached
        return self.cos_cached[:seq_len, ...], self.sin_cached[:seq_len, ...]

    def _apply(self, fn):
        if self.cos_cached is not None:
            self.cos_cached = fn(self.cos_cached)
        if self.sin_cached is not None:
            self.sin_cached = fn(self.sin_cached)
        return super()._apply(fn)

def rotate_half(x):
    x1, x2 = x[..., :x.shape[-1] // 2], x[..., x.shape[-1] // 2:]
    return torch.cat((-x2, x1), dim=x1.ndim - 1)

RoPE的外推性

我们都知道 RoPE 具有很好的外推性，前面的实验结果也证明了这一点。这里解释下具体原因。 RoPE 可以通过旋转矩阵来实现位置编码的外推，即可以通过旋转矩阵来生成超过预期训练长度的位置编码。这样可以提高模型的泛化能力和鲁棒性。我们回顾一下 RoPE 的工作原理：假设我们有一个维的绝对位置编码，其中是位置索引。我们可以将看成一个维空间中的一个点。我们可以定义一个维空间中的一个旋转矩阵，它可以将任意一个点沿着某个轴旋转一定的角度。我们可以用来变换，得到一个新的点。我们可以发现，和的距离是相等的，即。这意味着和的相对关系没有改变。但是，和的距离可能发生改变，即。这意味着和的相对关系有所改变。因此，我们可以用来调整不同位置之间的相对关系。如果我们想要生成超过预训练长度的位置编码，我们只需要用来重复变换最后一个预训练位置编码，得到新的位置编码

依此类推。这样就可以得到任意长度的位置编码序列，其中可以大于。由于是一个正交矩阵，它保证了和的距离不会无限增大或缩小，而是在一个有限范围内波动。这样就可以避免数值溢出或下溢的问题。同时，由于是一个可逆矩阵，它保证了和的距离可以通过的逆矩阵还原到和的距离，即

这样就可以保证位置编码的可逆性和可解释性。总结而言： 旋转编码 RoPE 可以有效地保持位置信息的相对关系，即相邻位置的编码之间有一定的相似性，而远离位置的编码之间有一定的差异性。这样可以增强模型对位置信息的感知和利用。这一点是其他绝对位置编码方式（如正弦位置编码、学习的位置编码等）所不具备的，因为它们只能表示绝对位置，而不能表示相对位置。 旋转编码 RoPE 可以通过旋转矩阵来实现位置编码的外推，即可以通过旋转矩阵来生成超过预训练长度的位置编码。这样可以提高模型的泛化能力和鲁棒性。这一点是其他固定位置编码方式（如正弦位置编码、固定相对位置编码等）所不具备的，因为它们只能表示预训练长度内的位置，而不能表示超过预训练长度的位置。 旋转编码 RoPE 可以与线性注意力机制兼容，即不需要额外的计算或参数来实现相对位置编码。这样可以降低模型的计算复杂度和内存消耗。这一点是其他混合位置编码方式（如 Transformer-XL、XLNet 等）所不具备的，因为它们需要额外的计算或参数来实现相对位置编码。