大模型的Scaling Law的概念和推导

作者：nghuyong 

在大模型的研发中，通常会有下面一些需求：

1.计划训练一个10B的模型，想知道至少需要多大的数据？

2.收集到了1T的数据，想知道能训练一个多大的模型？

3.老板准备1个月后开发布会，给的资源是100张A100，应该用多少数据训多大的模型效果最好？

4.老板对现在10B的模型不满意，想知道扩大到100B模型的效果能提升到多少？

以上这些问题都可以基于Scaling Law的理论进行回答。本文是阅读了一系列 Scaling Law的文章后的整理和思考，包括Scaling Law的概念和推导以及反Scaling Law的场景，不当之处，欢迎指正。

核心结论

大模型的Scaling Law是OpenAI在2020年提出的概念[1]，具体如下:

对于Decoder-only的模型，计算量(Flops), 模型参数量, 数据大小(token数)，三者满足:。(推导见本文最后)

模型的最终性能主要与计算量，模型参数量和数据大小三者相关，而与模型的具体结构(层数/深度/宽度)基本无关。

固定模型的总参数量，调整层数/深度/宽度，不同模型的性能差距很小，大部分在2%以内

3. 对于计算量，模型参数量和数据大小，当不受其他两个因素制约时，模型性能与每个因素都呈现幂律关系

4. 为了提升模型性能，模型参数量和数据大小需要同步放大，但模型和数据分别放大的比例还存在争议。

5. Scaling Law不仅适用于语言模型，还适用于其他模态以及跨模态的任务[4]：

这里横轴单位为PF-days: 如果每秒钟可进行 次运算，就是1 peta flops，那么一天的运算就是 这个算力消耗被称为1个petaflop/s-day。

核心公式 

(�)=�∞+(�0�)�

第一项是指无法通过增加模型规模来减少的损失，可以认为是数据自身的熵（例如数据中的噪音）

第二项是指能通过增加计算量来减少的损失，可以认为是模型拟合的分布与实际分布之间的差。根据公式，增大(例如计算量)，模型整体loss下降，模型性能提升；伴随趋向于无穷大，模型能拟合数据的真实分布，让第二项逼近0，整体趋向于

大模型中的scaling law

下图是GPT4报告[5]中的Scaling Law曲线，计算量和模型性能满足幂律关系

横轴是归一化之后的计算量，假设GPT4的计算量为1。基于10,000倍小的计算规模，就能预测最终GPT4的性能。

纵轴是"Bits for words", 这也是交叉熵的一个单位。在计算交叉熵时，如果使用以 2 为底的对数，交叉熵的单位就是 "bits per word"，与信息论中的比特（bit）概念相符。所以这个值越低，说明模型的性能越好。

Baichuan2

下图是Baichuan2[6]技术报告中的Scaling Law曲线。基于10M到3B的模型在1T数据上训练的性能，可预测出最后7B模型和13B模型在2.6T数据上的性能

MindLLM

下图是MindLLM[7]技术报告中的Scaling Law曲线。基于10M到500M的模型在10B数据上训练的性能，预测出最后3B模型在500B数据上的性能。

Scaling Law实操: 计算效率最优

根据幂律定律，模型的参数固定，无限堆数据并不能无限提升模型的性能，模型最终性能会慢慢趋向一个固定的值

如图所示，如果模型的参数量为（图中紫色的线），在数量达到，模型基本收敛。所以在数据量达到后，继续增加数据产生的计算量，没有同样计算量下提升模型参数量带来的收益大（计算效率更优）。根据，可以进一步转换成模型参数与计算量的关系，即: 模型参数为，在计算量为Flops，即PF-days时基本收敛。也就是右图中紫色线的拐点。

按照上面的思路，下面进行Scaling Law的实操。

首先准备充足的数据（例如1T），设计不同模型参数量的小模型(例如0.001B - 1B)，独立训练每个模型，每个模型都训练到基本收敛（假设数据量充足）。根据训练中不同模型的参数和数据量的组合，收集计算量与模型性能的关系。然后可以进一步获得计算效率最优时，即同样计算量下性能最好的模型规模和数据大小的组合，模型大小与计算量的关系，以及数据大小与计算量的关系。

如图所示，根据左图可以看到计算量与模型性能呈现幂律关系（可以认为数据和模型都不受限制），根据中图和右图，可以发现,，即计算效率最优时，模型的参数与计算量的幂次成线性关系，数据量的大小也与计算量的幂次成线性关系。

根据，可以推算出，但是,分别是多少存在分歧。

OpenAI[1]认为模型规模更重要，即，而DeepMind在Chinchilla工作[2]和Google在PaLM工作[3]中都验证了，即模型和数据同等重要。

所以假定计算量整体放大10倍，OpenAI认为模型参数更重要，模型应放大100.73(5.32)倍，数据放大100.27(1.86)倍；后来DeepMind和Google认为模型参数量与数据同等重要，两者都应该分别放大100.5(3.16)倍。

例如在PaLM的实验中，计算量从 放大10倍到， 模型参数也提升了3.2倍，3.35B->10.7B。具体最好在自己的数据上做实验来获得你场景下的和

LLaMA: 反Scaling Law的大模型

假设遵循计算效率最优来研发LLM，那么根据Scaling Law，给定模型大小，可以推算出最优的计算量，进一步根据最优计算量就能推算出需要的token数量，然后训练就行。

但是计算效率最优这个观点是针对训练阶段而言的，并不是推理阶段，实际应用中推理阶段效率更实用。

Meta在LLaMA[8]的观点是：给定模型的目标性能，并不需要用最优的计算效率在最快时间训练好模型，而应该在更大规模的数据上，训练一个相对更小模型，这样的模型在推理阶段的成本更低，尽管训练阶段的效率不是最优的（同样的算力其实能获得更优的模型，但是模型尺寸也会更大）。根据Scaling Law，10B模型只需要200B的数据，但是作者发现7B的模型性能在1T的数据后还能继续提升。

所以LLaMA工作的重点是训练一系列语言模型，通过使用更多的数据，让模型在有限推理资源下有最佳的性能。

具体而言，确定模型尺寸后，Scaling Law给到的只是最优的数据量，或者说是一个至少的数据量，实际在训练中观察在各个指标上的性能表现，只要还在继续增长，就可以持续增加训练数据。

审核编辑：黄飞